Physik compact 8, Themenheft

5 1.2 Weltraumtechnik Für die Position ( x | y | z ) des zu bestimmenden Punktes, für die – genaue – Zeit t , sowie für die jeweiligen Ko- ordinaten und Zeiten der vier Satelliten gelten somit folgende vier Kugelgleichungen: ( x − x i ) 2 + ( y − y i ) 2 + ( z − z i ) 2 = c 0 2 · ( t i − t ) 2 x i , y i , z i , t i (i = 1, 2, 3, 4) Ortskoordinaten und Zeit der Satelliten x, y, z, t Ortskoordinaten und Zeit des Beobachters Dadurch, dass alle Berechnungen sich auf die Zeiten in Bezug auf die Satelliten beziehen, müssen die Effekte der speziellen und allgemeinen Relativitätstheo- rie berücksichtigt werden (siehe Kap. 1.3): Da alle Sa- telliten in der gleichen Entfernung von der Erde diese umkreisen, sind sie alle gleich schnell (gleiche Effekte der speziellen Relativitätstheorie) und gleich hoch im Gravitationsfeld (gleiche Effekte aus der allgemeinen Relativitätstheorie). Damit sichergestellt ist, dass ein Navigationsgerät die empfangenen Signale exakt dem sendenden Satellit zuordnen kann, verwendet jeder Satellit ein eigenes Signal. Dieses Signal weist ein so einzigartiges digita- les Muster auf, dass es nicht mit anderen, zufälligen Streusignalen verwechselt werden kann. Weltraumtechnik Die Basis für das GPS bilden (mindestens) 24 Satelliten, die in 20200 km Höhe über der Erdoberfläche (mit r E =6370 km: 26570 km zum Erdmittelpunkt) zu je 4 in 6 Bahnebenen in nahezu exakten Kreisen um die Erde laufen. Ein Satellit ist damit zweimal pro Sterntag (23 h 55 min 56,6 sek) über demselben Punkt der Erde. Die Satelliten sind dabei so verteilt, dass von jedem Punkt der Erdoberfläche wenigstens 4 sichtbar sind. Derzeit sind mehr als 30 Satelliten im Einsatz. Galileo Die 30 Satelliten des europäischen Satellitennaviga- tionssystems (im Aufbau) sollen die Erde auf drei ge- geneinander geneigten Bahnebenen in ca. 23200 km Höhe über der Erdoberfläche umkreisen. In jeder Ebene laufen 9 Satelliten plus 1 Reservesatellit. Jeder Punkt der Erde wird von etwa 10–15 Satelliten gleich- zeitig auf gerader Linie erreicht. 1.2 A1 Rechne nach, wie lange ein Galileo-Satellit für ei- nen Umlauf braucht! A2 Recherchiere den aktuellen Stand des Galileo-Pro- jektes! Gibt es vergleichbare Projekte anderer Staaten? Relativistische Effekte A3 Wiederhole den Effekt der speziellen Relativitäts- theorie, der sich aus der Geschwindigkeit der Satel- liten ergibt! Berechne den Wert für die Daten eines GPS-Satelliten! Hinweis: Verwende die Näherungsformel 1 x x1 2 2 - = - A4 Wiederhole den Effekt der allgemeinen Relativi- tätstheorie, der sich aus der Position im Gravitations- feld ergibt! Berechne den Wert für die Daten eines GPS-Satelliten! Hinweis: Verwende die Näherungsformel t t c G m r r 1 1 1 S E E E S 0 2 $ $ $ = + - c m ; E t E ( t S ) … Zeit auf der Erde (beim Satelliten) m E … Erdmasse ≈ 5,98 · 10 24 kg r S … Abstand des Satelliten vom Erdmittelpunkt r E … Erdradius Die Effekte der Relativitätstheorie müssen grundsätz- lich bei der genauen Zeitmessung berücksichtigt wer- den: Aufgrund der Geschwindigkeit des Satelliten ver- geht die Satellitenzeit im Vergleich zu einer irdischen Uhr langsamer, andererseits aufgrund der geringeren Gravitation rascher; der relative Gangunterschied D t / t beträgt insgesamt etwa 10 −10 . Er ist wesentlich größer als die Ganggenauigkeit der Atomuhren an Bord der Satelliten ( D t / t = 10 −13 ). A5 WelcherEffektistgrößer?ÜberprüfedieGrößenord- nung mit Hilfe der Ergebnisse der Aufgaben 3 und 4! A6 Berechne, wie groß der Fehler bei der Positions- bestimmung ohne Einbeziehung der Relativitätstheo- rie wäre! Informiere dich, wie dieses Problem bei den GPS-Satelliten gelöst wurde! 1.3 Abb. 5.1 Verteilung der GPS- Satelliten BW8/S17 BW8/S31 Ausblick auf die Reifeprüfung Vorwissenschaftliche Arbeit GPS – Technische und mathematische Grundlagen, Anwendungen in Beruf und Freizeit FächerübergreifendeWissensgebiete Relativitätstheorie im Alltag Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv