Physik compact, Basiswissen 8, Schulbuch

57 22.3 Radioaktivität Zerfallsgesetz Beim Zerfall einer instabilen Substanz ist die Anzahl D n der Atome, die in einer bestimmten Zeitspanne D t zerfallen sind, proportional zur Zahl n der Atome und zur Zeitspanne D t : Es gilt: D n ~ n · D t D n … Anzahl der in der Zeitspanne D t zerfallenen Teilchen n … Anzahl der Teilchen D t … Zeitspanne Statt der Differenzen D n bzw. D t verwenden wir nun die Differentiale d n bzw. d t . Außerdem setzen wir statt des Proportionalitätszeichens ein Gleichheitszeichen und einen Proportionalitätsfaktor – m : d n = – m · n · d t Der Proportionalitätsfaktor heißt Zerfallskonstante m . Das negative Vorzeichen ergibt sich aus der Abnah- me der Anzahl der Teilchen. d n / n = – m · d t Durch Integrieren erhalten wir ( n > 0): ln( n ) = – m · t + const n ( t ) = e (– m · t + const) n ( t ) = e (const) · e (– m · t ) Hatte das radioaktive Material zum Zeitpunkt t = 0 die Anzahl N 0 von Teilchen, so ergibt sich der konstante Faktor aus dieser Anfangsbedingung zu: N 0 = e const · 1 Wir erhalten das Zerfallsgesetz: 22.3.2 Eine große Zerfallskonstante bedeutet eine rasche Abnahme der Teilchenzahl. Die Halbwertszeit T 1/2 (half-life) gibt die Zeit an, in der die Hälfte des ursprünglich vorhandenen Materials zerfallen ist. Für die Halbwertszeit T 1/2 gilt: ln T 2 /1 2 m = T 1/2 … Halbwertszeit m … Zerfallskonstante Bemerkung: Der Kehrwert der Zerfallskonstante m wird auch als Lebensdauer x des Teilchens bezeich- net: Beim radioaktiven Zerfall nimmt die Anzahl der instabilen Kerne mit der Zeit ab. Zeit t Anzahl derTeilchen n Abb. 57.1 Beim radioaktiven Zerfall nimmt die Anzahl der instabilen Kerne mit der Zeit ab. In der obigen Zerfallskurve ist die Abhängigkeit der Anzahl der instabilen Teilchen von der Zeit dargestellt. n ( t ) = N 0 · e – m · t n ( t )… Anzahl von Teilchen zum Zeitpunkt t N 0 … Anzahl der ursprünglich vorhandenen Teilchen m … Zerfallskonstante t … Zeit Zerfallsgesetz 0 1 2 3 4 Anzahl derTeilchen n Zeit in Jahren t 137 Cs 131 I Abb. 57.2 Im Diagramm sind die Zerfallskurven für 131 Iod (Halbwertszeit 8,05 Tage) und 137 Cs (Halbwertszeit 30,1 Jahre) eingetragen. Halbwertszeit natürlicher Radionuklide in Jahren Thorium-228 228 Th ( a , c ) 1,9 Radium-228 228 Ra ( b , c ) 5,7 Tritium 3 H ( b ) 12,0 Blei-210 210 Pb ( b , c ) 22,0 Radium-226 226 Ra ( a , c ) 1,6 · 10 3 Kohlenstoff-14 14 C ( b ) 5,7 · 10 3 Uran-234 234 U ( a ) 2,5 · 10 5 Uran-235 235 U ( a , c ) 7,0 · 10 8 Kalium-40 40 K ( b , c ) 1,3 · 10 9 Uran-238 238 U ( a ) 4,5 · 10 9 Thorium-232 232 Th ( a ) 1,4 · 10 10 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv