Physik compact, Basiswissen 8, Schulbuch

42 Welle – Teilchen 21 Nach de Broglie lässt sich einer Materiewelle mit der Wellenlänge m ein Teilchen mit einem Impuls vom Be- trag p = h / m zuordnen. Für Teilchen im unendlich ho- hen Potentialtopf ergibt sich daher p n l h 2 n $ = p n … Impuls des Teilchens im n -ten Anregungszu- stand n …Quantenzahl (1, 2, 3 ...) h …Planck´sches Wirkungsquantum l … Länge des Potentialtopfes Für ein Teilchen der Masse m ergeben sich dann mit E = p 2 /(2 m ) die zugehörigen Werte der Energie: Energieeigenwerte E n l m h 8 n 2 2 2 $ $ $ = A1 Versuche, mit Hilfe der Abb. 41.2 eine Formel für } n aufzustellen! Ist die Quantenzahl n = 0 möglich? A2 Versuche eine Abschätzung der Energie des Teil- chens mit Hilfe der Unschärferelation! Die Energie ist quantisiert. Die vorkommenden Ener- giewerte E n (Energieeigenwerte) sind proportional zum Quadrat der Quantenzahl n : E n ~ n 2 E n … n -ter Energieeigenwert n …Quantenzahl (1, 2, 3, ...) JedemEnergieeigenwert E n ist eineWellenfunktion } n , zugeordnet. Entlang der Ausdehnung des Potential- topfes durchläuft die Wellenfunktion n Halbperioden der Sinusfunktion. Teilchen im unendlichen rechteckigen Potentiatopf Abb. 42.1 Energietermschema eines Teilchens in einem unend- lichen rechteckigen Potentialtopf. Energie n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 Energienullpunkt Die Energie eines Teilchens ist proportional zum Quadrat der Quantenzahl. Beispiel Orbitale Die Wellenfunktionen, die einem Teilchen in einem unendlich hohen, rechteckigen Potentialtopf ent- sprechen, erinnern an die Gestalt von stehenden Wellen. Dies bedeutet aber nicht, dass das Teilchen schwingt, vielmehr ist die Wahrscheinlichkeitsdich- te | } | 2 , ein Teilchen an einem bestimmten Ort zu finden, unabhängig von der Zeit (stationär). Bei der Quantenzahl n = 1 ergibt sich, dass das Teilchen sich vorwiegend in der Mitte des zulässigen Bereichs aufhält. A3 Beschreibe die Aufenthaltswahrscheinlichkeits- dichte des Teilchens für Quantenzahlen n > 1 ent- sprechend Abb. 41.2. Das Modell des unendlichen Potentialtopfes lässt sich auf zwei und drei Dimensionen (Potentialwür- fel) verallgemeinern. Bemerkung: Es kann vorkommen, dass verschiede- nen Kombinationen von Quantenzahlen der gleiche Energieeigenwert zukommt. Solche Zustände nennt man entartete Energiezustände . Abb. 42.2 Bei einem Teilchen in einem zweidimensionalen unendlichen Kastenpotential sind zwei Quantenzahlen not- wendig, um die erlaubten Zustände zu beschreiben (n x , n y ). Die Abbildung zeigt durch die Färbung die Bereiche mit hoher Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte für mehrere Kombinatio- nen von Werten von n x und n y . x 2 x y 2 y x 2 x y 2 y     Abb. 42.3 Die Abbildung zeigt durch die Färbung Beispiele für Bereiche mit hoher Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte eines Teilchens, das durch unendliche Potentialwälle in einem Würfel eingeschlossen ist. Die Zustände können durch Angabe von drei Quantenzahlen vollständig beschrieben werden. Nur zu Prüfzweck n – Eigentum des Verlags öbv