Physik compact, Basiswissen 8, Schulbuch

21 20.4 Lorentz-Transformation Die Umrechnung der Koordinaten eines Systems I in die Koordinaten eines Systems I ´ erfolgt mit der so ge- nannten Lorentz-Tranformation: Bemerkung: Aus der Lorentz-Transformation ergibt sich eine untrennbare Verknüpfung zwischen Raum und Zeit. H. Minkowski ist einer der Väter der ma- thematischen Formulierung der speziellen Relativi- tätstheorie. Er sagte bei einem Vortrag: „Von Stund an sollen Raum für sich und Zeit für sich völlig zu Schatten herabsinken und nur noch eine Art Union der beiden soll Selbständigkeit bewahren.“ Diese Union von Raum und Zeit heißt vierdimensio- nale Raum-Zeit (spacetime) . A1 Zeige, dass bei kleinen Geschwindigkeiten die Lorentz-Transformation in die Galilei-Transformation übergeht! A2 Begründe, warum man sagen kann, dass die klas- sische Physik ein nichtrelativistischer Grenzfall der Re- lativitätstheorie ist! A3 Gib an, welche Geschwindigkeit man für die Bewe- gung von I ´´ gegenüber I klassisch erwarten würde! Wir berechnen die Geschwindigkeit w des Systems I ´´ im System I . Aus der Lorentz-Transformation erhalten wir einer- seits: x = c ( x´ + v . t ´) → x = c . t ´ . ( x´/t´ + v ) mit x´/ t´ = u ´ ergibt sich x = c . t´ . ( u´ + v ). (1) Anderseits gilt: t t c v x 0 2 $ $ c = + l l c m Das Ersetzen von x´ durch u´ . t´ ergibt t t c v u t 0 2 $ $ $ c = + l l l c m (2) Aus Formel (1) und (2) kann man die Geschwindigkeit w = x / t bestimmen: A4 Überlege, ob mit der Formel für die relativistische Geschwindigkeitsaddition Überlichtgeschwindigkei- ten ausgeschlossen werden! Begründe deine Meinung! A5 Berechne die Geschwindigkeit, mit der sich auf- einanderzufliegende Photonen nähern! Hinweis: Berechne zuerst die Relativgeschwindigkeit zweier Autos, die sich mit Geschwindigkeiten vom Be- trag v aufeinander zubewegen. A6 Zeige mit Hilfe der Formel für die Geschwindig- keitsaddition, dass die Vakuumlichtgeschwindigkeit unabhängig von der Geschwindigkeit von Quelle und Beobachter ist! A7 Zeige, dass für kleine Geschwindigkeiten die klas- sische Geschwindigkeitsaddition verwendet werden kann, indem du den Fehler für einige Geschwindig- keiten, die im Alltag auftreten, berechnest! A8 Gib an, unter welchen Bedingungen du eine klas- sische Geschwindigkeitsaddition und unter welchen Bedingungen du eine relativistische Geschwindig- keitsaddition durchführen würdest! A9 Fasse die Effekte der Relativitätstheorie zusam- men, die von unserer Alltagserfahrung abweichen! x´ = c ( x – v . t ) x = c ( x´ + v . t´ ) t´ = c ( t – v . x /c 0 2 ) t = c ( t´+ v . x’ / c 0 2 ) . Lorentz-Transformation Beispiel Relativistische Geschwindigkeitsaddition (relativistic velocity addition) Eine wesentliche Anwendung der Lorentz-Transfor- mation liegt darin, dass man berechnen kann, wie sich Geschwindigkeiten innerhalb der speziellen Relativitätstheorie addieren. Wir betrachten drei Inertialsysteme. Das System I ´ bewegt sich gegenüber dem System I mit der Geschwindigkeit v . Ein System I ´´ weist gegenüber dem System I´ eine Geschwindigkeit u ´ auf. Die Geschwindigkeiten v und u ´ zeigen in die gleiche Richtung. x x’ I I’ x’’ I’’ v u’ w = v + u’ Abb. 21.1 w c v u v u 1 0 2 $ = + + l l w … relativistische Summe zweier Geschwindig- keiten in der gleichen Richtung v, u´ … zwei Geschwindigkeiten, die addiert werden sollen c 0 …Vakuumlichtgeschwindigkeit Relativistische Geschwindigkeitsaddition Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv