Physik compact, Basiswissen 8, Schulbuch

20 Spezielle Relativitätstheorie 20 Lorentz-Transformation A1 Wiederhole die gleichförmige Bewegung! Jedes Ereignis besitzt in einem Inertialsystem einen Ort und einen Zeitpunkt, wo und wann es stattfindet. Die Lorentz-Transformation dient der Umrechnung von Koordinaten von Ereignissen zwischen verschie- denen Inertialsystemen. Wir werden die Lorentz- Transformation zuerst herleiten und dann an einem Beispiel anwenden. Wir betrachten der Einfachheit halber ein Inertialsys- tem I und ein Inertialsystem I ´, die nur in x -Richtung eine Relativgeschwindigkeit v aufweisen (Abb. 20.1) In klassischer Betrachtung kann man dann die Koor- dinaten des Systems I einfach in die Koordinaten des Systems I ´ umrechnen. Diese Umrechnungsformeln heißen Dabei beziehen sich die gestrichenen Koordinaten auf das System I ´, die ungestrichenen Koordinaten auf das System I . Wir verzichten in unserer weiteren Betrachtung auf die y - und z -Koordinate, da die Relativbewegung nach unserer Annahme nur in der x -Richtung erfolgt. Die Galilei-Transformation vereinfacht sich dann zu: x´= x – v . t x = x´ + v . t´ t´ = t t = t´ A2 Begründe die Galilei-Transformation mit Hilfe der Formeln für die gleichförmige Bewegung! Bemerkung: Innerhalb der klassischen Physik hat die Geschwindigkeit keine Auswirkung auf den Gang der Zeit. Weiters geht beim Übergang von einem System auf das andere System der Ort nicht in die Transforma- tion der Zeit ein. Man sagt: 20.4 Da es bei hohen Geschwindigkeiten zu Längenkon- traktion und Zeitdilatation kommt, muss in die Gali- lei-Transformation ein geschwindigkeitsabhängiger Faktor ( c -Faktor) eingebaut werden. Wichtig ist, dass aufgrund der Gleichberechtigung aller Inertialsyste- me die Symmetrie der Transformation nicht gestört werden darf: Lorentz Transformation für die x -Koordinate: x´ = c ( x – v . t ) x = c ( x´+ v . t ´) (1) Auch dieTransformation zwischen t und t ´ muss an die Relativitätstheorie angepasst werden. Für ein Lichtsig- nal, das zum Zeitpunkt t = 0 vom Ursprung des Koor- dinatensystems ausgeht, gilt x = c 0 . t x ´ = c 0 . t ´ Wir ersetzen in den Formeln (1) x und x ´ durch c 0 . t und c 0 . t ´: c 0 . t ´ = c ( c 0 . t – v . t ) (2.1) c 0 . t = c ( c 0 . t´+ v . t ´) (2.2) Eine Division durch c 0 führt auf t t c v t t t c v t 0 0 $ $ c c = - = + l l l ` c j m . Dabei gilt aber t = x / c 0 und t ´ = x ´ / c 0 . Dies führt auf die Lorentz-Transformation für die t -Koordiante: t t c v x t t c v x 0 2 0 2 $ $ c c = - = + l l l ` c j m . Unser Ziel ist es nun, c zu bestimmen. Aus der Formel (2.2) lässt sich t berechnen: t c t c v 0 0 $ c = + l ^ h Setzt man diesen Ausdruck für t in die Formel (2.1) ein, erhält man c t c t c v c v 0 0 0 0 $ $ $ c c = + - l l ^ ^h h Daraus ergibt sich der Wert für c : c v 1 1 0 2 2 c = - A3 Nenne die Stellen, bei denen in diesem Gedan- kengang das Relativitätsprinzip oder das Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit eingegangen ist! Abb. 20.1 z x z’ x’ I I’ y y’ (x/y/z/t) (x’/y’/z’ )/t’ x´ = x – v . t x = x´ + v . t´ y´ = y y = y´ z´ = z z = z´ t´ = t t = t´ Galilei-Transformation In der klassischen Physik sind Raum und Zeit vonein- ander unabhängig. BW5/S36 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv