Physik compact, Basiswissen 8, Schulbuch

18 Spezielle Relativitätstheorie 20 Aus diesem Gedankenexperiment lassen sich zwei Ef- fekte erkennen: • vorbei bewegte Uhren gehen langsamer • vorbei bewegte Strecken sind verkürzt Dabei sind alle Inertialsysteme hinsichlich dieser Ef- fekte gleichberechtigt, was sich auch in der Symme- trie der Abb. 17.2 und Abb. 17.3 zeigt. A1 Leite anhand von Abb. 17.2 und Abb. 17.3 mit Hil- fe des pythagoreischen Lehrsatzes die Formel für die Zeitdilatation her! A2 Leite die Formel für die Längenkontraktion her. Hinweis: l = v . t und l´ = v . t ´. Das Durchqueren der Atmosphäre dauert ohne Be- rücksichtigung der Zeitdilatation selbst bei einer an- genommenen Geschwindigkeit von c 0 etwa 22 Halb- wertszeiten. Ohne Zeitdilatation würde also nur ein Anteil von 2 –22 ≈ 2,4 . 10 –7 aller erzeugten Myonen bis zur Erdoberfläche durchdringen. Tatsächlich ist der Anteil aber wesentlich höher (≈ 0,2), weil sich bei den hohen Geschwindigkeiten der Myonen die Zeitdilata- tion bereits stark auswirkt. Aus der„Sicht der Myonen“ verkürzt sich die Dicke der Atmosphäre um den gleichen Faktor wie für einen Be- obachter auf der Erde die Halbwertszeit der Myonen langsamer vergeht. A3 Zeichne ein Diagramm, das den Wert des so ge- nannten c -Faktors als Funktion von v / c angibt! c v 1 1 0 2 2 c = - A4 Überprüfe mit dem Taschenrechner, dass sich c durch die Reihe ... c v c v 1 2 1 8 3 0 2 2 0 4 4 $ $ + + + annähern lässt! A5 Schreibe die Formeln für Zeitdilatation und Län- genkontraktion unter Verwendung des c -Faktors! A6 Gib einen mathematischen Grund dafür an, dass die Vakuumlichtgeschwindigkeit nicht überschritten werden kann! A7 DieGanggenauigkeit vonAtomuhrenbeträgt 10 −14 . Rechne nach, ob sich die Zeitdilatation für einen Autorennfahrer ( v = 240 km/h) und einen Piloten ( v = 900 km/h) mit Hilfe von Atomuhren nachweisen lässt! A8 Ein Rennauto fährt für zwei Stunden mit einer Geschwindigkeit von 240 km/h. Berechne die dabei auftretende Zeitdilatation! A9 Schätze die Größenordnung des c -Faktors, der bei Satelliten aufgrund ihrer Geschwindigkeit gegenüber der Erdoberfläche auftritt! Welche Auswirkungen er- wartest du in diesem Zusammenhang? A10 Gib die Größenordnung der Längenkontraktion des Monddurchmessers bezüglich der Erde an! A11 Für die Symmetrie der Zeitdilatation ist es we- sentlich, dass die verwendeten „Uhren“ sich dauernd in ihrem Inertialsystem befinden und dieses nicht verlassen. Gib an, welchen Effekt du erwartest, wenn ein Astronaut von der Erde startet, sich mit großer Geschwindigkeit von der Erde weg bewegt, umkehrt und wieder auf der Erde landet und sein Zwillingsbru- der auf der Erde geblieben ist! Abb. 18.2 „Zwillingsparadoxon“ Beispiel Myonenlebensdauer Myonen sind Elementarteilchen mit der selben Ladung wie Elektronen. Sie weisen aber etwa die 200fache Masse der Elektronen auf. Myonen sind instabil. Die Halbwertszeit der Myonen beträgt 1,52 . 10 –6 s, das heißt, dass von 1000 Myonen nach dieser Halbwertszeit T 1/2 nur mehr rund 500 vorhan- den sind. Myonen entstehen beispielsweise in etwa 10 km Höhe durch die Einwirkung der kosmischen Strahlung auf die oberen Schichten der Atmosphä- re. Mit Detektoren wurde gemessen, dass zahlreiche Myonen bis auf den Erdboden gelangen. l t’ l’ Die Myonen bewegen sich. Die Erde bewegt sich. Die Längenkontraktion verkürzt die Dicke der Atmosphäre. Die Zeitdilatation führt zu einer langsamer verstreichenden Halbwertszeit. Abb. 18.1 links: Die Myonen bewegen sich im ruhenden Sys- tem der Atmosphäre. Die Zeitdilatation führt zu einer Dehnung der Halbwertszeit. Rechts: Die Myonen ruhen und die Erde bewegt sich auf die Myonen zu. Die Längenkontraktion verkürzt die Dicke der Atmosphäre. BW8/S74 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv