Physik compact, Basiswissen 8, Schulbuch

11 Bohr´sches Atommodell D A1 Nenne und begründe die Probleme des Ruther- ford-Modells! A2 Wiederhole die Winkelgeschwindigkeit und den Drehimpuls! Wann ist für den Drehimpuls die Formel L = m ∙ r 2 ∙ ~ gültig? Lösung: Niels Bohr forderte (postulierte): Das Elekt- ron strahlt nicht, wenn sein Drehimpuls ein ganzzah- liges Vielfaches des Drehimpulsquantums ħ = h /(2 r ) ist. Nur solche stabilen Bahnen sind innerhalb des Bohr´schen Atommodells zugelassen. Die hier auftre- tenden (ganzen) Zahlen nennt man Quantenzahlen (quantum numbers). Für jede der stabilen Elektronenbahnen lässt sich aus der kinetischen und der potentiellen Energie des Elektrons die Energie ausrechnen, mit der das Elekt- ron an den Kern gebunden ist. Es zeigt sich dabei, dass der Betrag der Bindungsenergie nach außen hin abnimmt. Bohr nahm an, dass ein Elektron bei einem Übergang von einem schwach gebundenen in einen stark gebundenen Zustand die überschüssige Energie als Photon emittiert. BeimumgekehrtenVorgang wird ein Photon absorbiert. Die verschiedenen stabilen Bahnen sind durch die Quantenzahlen gekennzeichnet. Bei Emission oder Absorption eines Photons ändert sich neben der Ener- gie auch die Quantenzahl m → n . Im Folgenden erarbeiten wir mit den zwei Bohr´schen Postulaten das diskrete Wasserstoffspektrum und den Wert der Rydberg-Konstanten. In einem Bohr´schen Wasserstoffatom „kreist“ ein Elektron um den Kern. Dabei wirkt die Coulombkraft als Zentripetalkraft auf das Elektron: m r r e 4 1 e 2 0 2 2 $ $ $ $ $ r ~ f = m e … Elektronenmasse ~ … Winkelgeschwindigkeit r … Bahnradius f 0 … elektrische Feldkonstante e … Elementarladung A3 Bestimme die Radien r der Elektronenbahnen als Funktion der Quantenzahl n : r = r ( n )! (Verwende das 1. Bohr’sche Postulat um ~ zu eliminieren!) Der kleinste Radius ( n = 1) wird auch Bohr´scher Ra- dius genannt. Er gibt die Größenordnung des Radius des Wasserstoffatoms im Grundzustand an: A4 Berechne den Zahlenwert des Bohr´schen Radius! A5 Wiederhole den Begriff„potentielle Energie“! Den Betrag der Gesamtenergie E n eines gebundenen Elektrons auf einer Kreisbahn mit Quantenzahl n kann man aus der Summe von kinetischer und potentieller Energie des Elektrons berechnen. Man erhält: 8 E r n e 1 n 0 2 $ $ $ r f = ^ h E n …Betrag der Gesamtenergie des Elektrons f 0 … elektrische Feldkonstante e … Elementarladung r ( n ) …Bahnradius der n -ten Bahn A6 Rechne nach! Setzt man in die Gleichung für die Gesamtenergie des Elektrons die Funktion r ( n ) ein, so erhält man: Der Drehimpuls des Elektrons tritt nur in ganzzahli- gen Vielfachen des Drehimpulsquantums auf. L = m e ∙ r 2 ∙ ~ = n ∙ ħ L …Drehimpuls des Elektrons m e …Masse des Elektrons r …Radius der Elektronenbahn ~ …Winkelgeschwindigkeit n …Quantenzahl (1,2,3....) ħ …Drehimpulsquantum 1. Bohr´sches Postulat (Drehimpulsquantisierung) Die durch ein Photon ausgetauschte Energie ent- spricht dem Betrag der Energiedifferenz zwischen zwei stabilen Zuständen. (E m – E n ) = h ∙ f E m … Energie des Elektrons vor dem Quantenübergang E n … Energie des Elektrons nach dem Quantenübergang h …Planck´sches Wirkungsquantum f … Frequenz des Lichts 2. Bohr´sches Postulat 4 r e m e 2 0 2 $ $ $ $ ' r f = r …Bohr´scher Radius f 0 …elektrische Feldkonstante ħ …Drehimpulsquantum e …Elementarladung m e …Elektronenmasse Bohr´scher Radius E h e m n 8 1 n e 0 2 2 4 2 $ $ $ $ f = E n … Betrag der Gesamtenergie e … Elementarladung m e …Masse des Elektrons f 0 … elektrische Feldkonstante h … Planck´sches Wirkungsquantum n … Quantenzahl (1, 2, 3, ...) Gesamtenergie des Elektrons auf der n -ten Bahn BW5/S80, 84 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv