Physik compact, Basiswissen 7, Schulbuch

33 14.2 Gravitation Das dritte Kepler´sche Gesetz Wir können Planetenbahnen durch Kreisbahnen an- nähern. Dann können wir die Zentripetalkraft und die Gravitationskraft zwischen der Sonne und dem Plane- ten gleichsetzen und erhalten: r m v G r M m 2 2 $ $ $ = v r G M 2 $ = (1) m …Masse der Planeten v … Bahngeschwindigkeit r … Bahnradius G … Gravitationskonstante M … Masse der Sonne Für die Bahngeschwindigkeit v eines Planeten auf ei- ner Kreisbahn gilt andererseits: 2 v T r $ r = r …Bahnradius T …Umlaufszeit des Planeten Wir setzen für v in (1) ein und erhalten: 4 T r r G M 2 2 2 $ r = Wir formen noch einmal um: 4 r T G M 3 2 2 $ r = (2) Der Quotient T 2 / r 3 ist somit von der Planetenmasse unabhängig. Der Quotient hängt nur von der Masse des Zentralkörpers, der Sonne ab. Johannes Kepler leitete das dritte Kepler´sche Gesetz allerdings nicht ab, sondern las es in langwieriger Re- chenarbeit aus den Bahndaten der Planeten ab: Das dritte Kepler´sche Gesetz gilt sinngemäß für Planeten und Kometen, die um die Sonne laufen, ge- nauso wie für Monde, die einen Planeten umkreisen oder für Satelliten, die die Erde umrunden. Abb. 33.1 Der Quotient T 2 /r 3 hat für alle Planeten im Sonnen- system den gleichen Wert – im T 2 –r 3 -Diagramm liegen die Werte aller acht Planeten auf einer Geraden. Der Kleinplanet Pluto ist zusätzlich eingetragen. 0 0,25·10 6 0,5·10 6 0,75·10 6 1·10 6 1,25·10 6 1,75·10 6 2·10 6 2,25·10 6 2,5·10 6 1,5·10 6 (6. Wurzel aus) r 3 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 Merkur Erde Mars Jupiter Saturn Uranus Neptun Pluto Venus Die Quadrate der Umlaufszeiten T 1 und T 2 verhalten sich wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen a 1 und a 2 ihrer Bahnellipsen. Drittes Kepler´sches Gesetz Beispiel Bestimmung der Planetenmassen Das dritte Kepler´sche Gesetz spielt eine besonde- re Rolle für die Bestimmung der Planetenmassen. Kann der Umlauf eines Mondes hinsichtlich der Umlaufszeit T und des Bahnradius r beobachtet werden, so kann die Planetenmasse leicht berech- net werden (vgl. (2)): 4 r T G M 3 2 2 $ r = → 4 M G T r 2 2 3 $ r = Beispiel Geostationärer Satellit Benötigt ein Satellit über dem Erdäquator für eine Erdumrundung einen Tag, so scheint er über dem Erdboden still zu stehen. Solche Satelliten heißen geostationär. Aus dem dritten Kepler´schen Gesetz berechnen wir den Bahnradius eines solchen Satelli- ten ( T = 23 h 56 min): 4 r G M T 2 2 3 $ $ r = 4 , , r 6 67 10 5 96 10 86160 2 11 24 2 3 $ $ $ $ r = - r ≈ 42200 km Der Satellit„steht“ somit ungefähr 36000 km (etwa 6 Erdradien) über dem Äquator. Telekommunikati- onssatelliten undWettersatelliten sind zum Beispiel solche geostationäre Satelliten. Abb. 33.2 Die Fernseh- und Kommunikationssatelliten dienen vor allem dem Direktempfang von Hörfunk- und Fernsehsigna- len mit Parabolantennen („Satellitenschüsseln“). Nur zu Prüfzw cken – Eigentum des Verlags öbv