Physik compact, Basiswissen 7, Schulbuch

32 Gravitation 14 Das zweite Kepler´sche Gesetz Das zweite Kepler´sche Gesetz gibt einen Zusam- menhang an, wie sich die Bahngeschwindigkeit der Planeten während eines Umlaufes dem Betrag nach ändert: (The radial line segment from the planet to the sun sweeps out equal areas in equal times). Die Bahngeschwindigkeit des Planeten hat demnach im Perihel den größten und im Aphel den kleinsten Betrag. Wir leiten das zweite Kepler´sche Gesetz aus dem Drehimpulssatz her. Dabei können wir von den fol- genden Voraussetzungen ausgehen: 1. Die Masse des Sonnensystems ist zu über 99% in der Sonne konzentriert. Daher liegt der Massenmit- telpunkt des Sonnensystems immer in der Sonne. Die Gravitation zwischen den einzelnen Planeten wird vernachlässigt – es wird nur die Bewegung eines Pla- neten um die Sonne betrachtet. 2. Die Eigenrotation der Sonne und des Planeten um seine Achse bleibt beim Umlauf des Planeten prak- tisch unverändert (die Tageslänge der Erde bleibt während eines Jahres nahezu gleich). Der Drehimpuls, der mit der Eigenrotation verbunden ist, wird daher in der Herleitung nicht berücksichtigt. 3. Als Bezugspunkt für den Gesamtdrehimpuls des Systems Sonne–Planet wählen wir den Massenmit- telpunkt des Systems. Die Bewegung der Sonne in bezug auf den Massenmittelpunkt ist sehr klein. Der Gesamtdrehimpuls kommt daher fast ausschließlich durch die Bewegung des Planeten zustande. Abb. 32.1 Die Gravitationskraft beschleunigt den Satelliten, wenn er sich auf seiner Bahnkurve dem Zentralkörper nähert. Entfernt sich der Satellit wieder vom Zentralkörper, wird er lang- samer. Dies lässt sich in der obigen Simulation aus den Abstän- den zwischen den Punkten ablesen. Der Radiusvektor von Planet zur Sonne überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen (Flächensatz). Zweites Kepler´sches Gesetz Abb. 32.2 Im Perihel und im Aphel überstreicht der Radius­ vektor in gleichen Zeiten gleiche Flächen. s 1 A 1 s 2 A 2 Perihel Aphel Der Radiusvektor überstreicht in gleichen Zeiten = gleiche Flächen = . t t A A 1 2 1 2 ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ Erhaltung des Drehimpulses Überstrichene Fläche L = m ∙ v ∙ r D A = ½ ∙ r ∙ D s L m t s r $ $ D D = t A t s r 2 1 $ $ D D D D = . const m L t s r $ D D = = . const t A m L 2 D D = = Abb. 32.3 Der Vorbeiflug der Sonde Voyager 1 am Jupiter – in der Nähe des Planeten ist die Sonde am allerschnellsten, sodass für die Beobachtung nur wenige Stunden Zeit bleibt. zwei Stunden Europa Kallisto Ganymed Io Amalthea Jupiter Die Gravitationskraft lenkt die Sonde auf eine Hyperbelbahn ab. Sonde Voyager I BW5/K5.2 BW5/S86 32.4 Die Voyager- Sonde. In der Bild- mitte sieht man die „Voyager Golden Record". (Was hat es damit auf sich?) Der Drehimpuls der Planetenbewegung ist eine vek- torielle Erhaltungsgröße. Aus der Erhaltung des Dreh- impulses folgt neben dem Flächensatz weiters, dass sich die Planeten in Ebenen bewegen, und dass die Lage dieser Bahnebenen erhalten bleibt. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv