Sexl Physik 8, Schulbuch

57 | 57.1 Beim Magnetpendel kann man nicht vorhersagen, wo die Kugel zur Ruhe kommt. Kleine Änderungen des Startpunkts und kleine Störungen während des Versuchsverlaufs be- wirken sehr große Änderungen der jeweiligen Bahn. Die Kugel durchläuft mehrfach „sensiti- ve“ Stellen labilen Gleichgewichts (sie liegen auf einem sternförmigen Bereich). 57.2 Jede Stelle entspricht einem Start- punkt des Pendels. Die Farbe entspricht dem Magneten, an dem das Pendel zum Stillstand kommt. Es gibt deterministische Bereiche, also Bereiche in denen benachbarte Anfangsbedin- gungen alle denselben Endzustand haben und fraktale Bereiche, wo Anfangsbedingungen mit verschiedenen Endzuständen beliebig dicht nebeneinander liegen. 57.3 Ein Objekt nennt man selbstähnlich , wenn ein Teil des Objektes nach einer Vergrößerung dem ursprünglichen Objekt ähnlich ist. Experiment: Magnetpendel Du brauchst : Fadenpendel mit Eisenkugel; passende Aufhängevorrichtung; drei Mag- netscheiben, Kreisscheibe aus Papier zur Fixierung der Magnete; Eisenfeilspäne. Was ist zu tun? Lege die Magnete auf den Rand der Kreisscheibe, und zwar so, dass sie die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks bilden und mit dem gleichen Pol nach oben zei- gen. Markiere den Mittelpunkt. In der Ruhelage soll das Pendel genau über dem Mittel- punkt hängen. Lenke die Pendelkugel aus und beobachte die Schwingung. Wiederhole das Experiment, lass dabei die Pendelkugel immer an derselben Stelle los ( 57.1 ). 57.1 Starte das Pendel immer von der gleichen Stelle. Trage in eine Tabelle ein, bei wel- chen Magneten die Pendelkugel jeweils zur Ruhe kommt. Untersuche, ob es dabei ir- gendeine Regelmäßigkeit gibt. 57.2 Untersuche, welche Kräfte auf die Pendelkugel an den verschiedenen Stellen wir- ken: (a) Lege eine durchsichtige Folie über die Magnete. Überlege, welche Kräfte auf die Kugel an einem bestimmten Punkt wirken. (b) Prüfe deine Überlegung mit einer klei- nen, an einem Faden hängenden Eisenkugel. (c) Zeichne auf der Folie mit einem Pfeil ein, in welche Richtung die Kugel gezogen wird. Bestreue die Folie mit Eisenfeilspänen und betrachte das sich ergebende Muster der Feldlinien. (d) Warum wirken sich kleine Störungen und kleine Änderungen des Startpunktes möglicherweise auf die Bahn der Pendelkugel aus? Vergleiche die Situation des Pendels mit einer Kugel, die auf einen Wall zuläuft. Wo liegen beim Magnetpendel die „sensitiven“ Stellen ( 57.2 )? 57.3 Handelt es sich bei einem Spielwürfel um ein chaotisches System? Welche sensiti- ven Stellen, die immer wieder durchlaufen werden, hat der Würfel? Antwort auf die Eingangsfrage Figuren mit einer hohen Selbstähnlichkeit bezeichnet man als Fraktale . Die Ma- thematik, die sich mit Fraktalen beschäftigt, ist die fraktale Geometrie. Das auf 54.1 ausschnittsweise dargestellte Gebilde, die Mandelbrot-Menge, wird mittels Rückkopplung als Folge von komplexen Zahlen erzeugt. Der schwarze Be- reich gibt jenen Teil der Ebene der komplexen Zahlen c an, in dem die Rückkopp- lung z k+1 = z k 2 + c (mit z 0 = 0 ) endlich bleibt, c -Werte außerhalb der schwarzen Fi- gur streben bei der Rückkopplung gegen Unendlich. Interessant ist der Rand der Figur. Untersucht man ihn mit der Lupe, findet man in immer kleinerem Maßstab dieselben oder ähnliche geometrischen Gebilde: man nennt dies Selbstähnlichkeit. 57.4 Eine typische selbstähnliche Pflanze ist der zu den Kohlge- wächsen zählende Romanesco. Auch der Karfiol ist selbstähnlich. Untersuche, überlege, forsche: Fraktale 57.1 Suche im Internet Bilder von fraktalen Mengen und selbstähnlichen Objekten. Ver- suche, mit geeigneten Programmen derartige Figuren selbst zu zeichnen! (Anleitungen unter physikplus.oebv.at ) Teste dein Wissen 57.1 Chaotische Systeme sind deterministische dynamische Systeme. Was ver- steht man unter diesen Begriffen? 57.2 Was versteht man unter starker und schwacher Kausalität? Durch welche Art von Kausalität lassen sich chaotische Systeme charakterisieren? 57.3 Erkläre, warum das beschriebene Magnetpendel ein chaotisches System ist. 57.4 Nenne Beispiele für chaotische Systeme und beschreibe sie. 57.5 Was versteht man unter Fraktalen? N ur zu Prüfzwecken – Eig entum des Verlags öbv