Sexl Physik 8, Schulbuch

| 44 Elektronenquelle y-Ablenkung Elektronenstrahl Lichtpunkt Wehneltzylinder Anode x-Ablenkung 44.1 Aus der Elektronenquelle der Braun’- schen Röhre (TV-Röhre) treten Elektronen aus. Sie werden durch Hochspannung zur Anode beschleunigt. Ein Elektronenstrahl passiert das Loch in der Anode und erzeugt einen Licht- punkt auf dem Bildschirm. Wie hängt seine Größe vom Blendendurchmesser (Loch in der Anode) ab? 44.2 Sinkt der Durchmesser der Blenden- öffnung auf die Größenordnung einer Wellen- länge (rechtes Bild), so fächern Beugungser- scheinungen den Strahl auf, wie ein Versuch mit Wasserwellen anschaulich zeigt. 44.3 Zentrale Beugungsscheibe mit Neben- maxima einer kreisförmigen Lochblende. Detektor p 44.4 Ein Elektronenstrahl wird an einem Spalt gebeugt. Hinter dem Spalt laufen die Teilchen auseinander: Die Richtungen ihrer Impulse sind nicht exakt vorhersagbar. Sie weisen eine Impulsunschärfe ∆ p x auf. Der Radius des ersten Beugungsscheibchens dient zur Abschätzung der Impulsunschärfe. Wählen wir den Blendendurchmesser d in der Braun’schen Röhre von der Größe der de Broglie-Wellenlänge, kann man wegen der Beugung nicht vorhersagen, wo Elektronen am Bildschirm auftreffen werden ( 44.2 , 44.3 ). Durch die Beugung der Elektronen wird ihre Bewegungsrichtung unbestimmt. Je genauer wir festle- gen wollen, von wo die Elektronen ausgehen, desto breiter wird die Impulsvertei- lung. Einen Elektronenstrahl mit einem genau bestimmten Impuls und einer scharf definierten Richtung erhalten wir nur, wenn wir ihn breit machen, also auf eine gute Kenntnis des Ortes der Elektronen verzichten. Es ist unmöglich, einen Elektronenstrahl so zu erzeugen, dass gleichzeitig ein genau bestimmter Ort und eine genau bestimmte Geschwindigkeit der Elektronen gemessen werden können. Dies führt uns auf die Heisenberg’sche Unschärferelation , deren quantitative For- mulierung wir mit einem Gedankenexperiment plausibel machen wollen. Dazu be- trachten wir die Beugung eines Elektronenstrahls an einem Einzelspalt der Breite d ( 44.4 ). Der Winkel α , bei dem das erste Beugungsminimum auftritt, ist durch sin α = λ / d gegeben. Nahezu alle Teilchen werden sich in diesen Winkelbereich ausbreiten und auf dem Schirm ein entsprechend großes Beugungsbild erzeugen. Die Impulse p x quer zur ursprünglichen Strahlrichtung streuen mit der Größenordnung ∆ p x um den Mittelwert Null. ∆ p x ergibt sich größenordnungsmäßig zu ∆ p x ≈ p ·sin α = p · λ / d = ( h / λ )·( λ / d ) = h / d . Wenn es uns gelingt, den Ort der Elektronen mit einer Ortsunschärfe ∆ x = d fest- zulegen, müssen wir eine Impulsunschärfe ∆ p x der Größenordnung h /∆ x in Kauf nehmen. Heisenberg’sche Unschärferelation Ort und Impuls von Teilchen können nicht gleichzeitig mit beliebiger Genauigkeit bestimmt werden. Für das Produkt aus Ortsunschärfe ∆ x und Impulsunschärfe ∆ p x gilt ∆ x ·∆ p x ≈ h . Wir haben diese Relation für die Ortsfestlegung quer zur Ausbreitungsrichtung abgeleitet. Sie gilt jedoch allgemein für jede Richtung: Ist der Ort eines Quanten- objekts mit der Unschärfe ∆ x , ∆ y , ∆ z bekannt, werden die Unschärfen der Kompo- nenten des Impulsvektors durch die Heisenberg’sche Unschärferelation bestimmt: ∆ x ·∆ p x ≈ h , ∆ y ·∆ p y ≈ h , ∆ z ·∆ p z ≈ h , aber keine Beschränkung für ∆ x ·∆ p y , … Damit haben wir eine unüberschreitbare Schranke für die Genauigkeit gefunden, mit der Ort und Geschwindigkeit eines Quantenobjekts gleichzeitig bestimmt wer- den können. Diese Einschränkung revolutioniert die Grundlagen der Physik. Der französische Mathematiker p ierre s iMoN de l aplace (1749–1827) träumte einst von der Berechenbarkeit der Natur: „… ein Geist, der alle Kräfte der Natur kennen würde und für einen Augenblick die Lage und die Geschwindigkeit aller Teilchen, aus denen die Natur besteht, erfassen könnte und genügend groß wäre, alle diese Daten einer Rechnung zu Grunde zu legen, könnte die Bewegung aller Körper des Weltalls vorhersagen. Für ihn würde nichts unbestimmt sein …“. Dieser Traum der klassischen Mechanik ist ausgeträumt, da wir prinzipiell niemals die Lage und die Geschwindigkeit einzelner Teilchen exakt erfassen können. Deshalb ist auch das weitere Geschehen nicht mit Bestimmtheit vorhersagbar. Wir können nur Aussagen über das statistische Verhalten sehr vieler Quantenobjekte machen, also z. B. dar- über, welches Beugungsmuster sie erzeugen werden. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum es Verlags öbv