Sexl Physik 8, Schulbuch

| 22 Die Lorentz-Transformation erfüllt beide Prinzipien: Lorentz-Transformation x’ = x = y’ = y y = y’ z’ = z z = z’ t’ = t = Das Relativitätsprinzip ist erfüllt : Die beiden Systeme S und S ’ sind gleichberech- tigt, denn man erhält die Formeln der rechten Seite aus den Formeln der linken Seite und umgekehrt, indem man gestrichene und ungestrichene Koordinaten ver- tauscht und v durch –v ersetzt. Das Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit ist erfüllt : Im System S brei- tet sich ein Lichtsignal längs der x- Achse gemäß der Formel x = ct aus, seine Ge- schwindigkeit ist x / t = c . Wendet man die Lorentz-Transformation an, so erhält man für die Geschwindigkeit des Lichtsignals im System S ’ ebenfalls den Wert c : Die Lorentz-Transformation gibt daher den Zusammenhang zwischen den Syste- men S und S ’ korrekt wieder und ersetzt die Galilei-Transformation. Die Lorentz-Transformation ist offenkundig eine Verallgemeinerung der Galilei- Transformation, die aus ihr im Grenzfall v ¥ 0 hervorgeht. Dann wird ≈ 1 , und der Term ( v / c 2 ) x kann vernachlässigt werden. Falls sich die Inertialsysteme S und S ’ mit einer Geschwindigkeit v << c relativ zueinander bewegen (das ist in al- len Beispielen des Alltagslebens stets der Fall), gibt die Galilei-Transformation die Relation zwischen den Koordinaten in beiden Systemen annähernd richtig wieder, und die klassische Physik kann angewendet werden. Für v ≈ c werden die Abweichungen von der klassischen Physik dagegen bedeu- tend. Für v > c wird die Lorentz-Transformation sinnlos, da dann und da- mit alle Positions-, Längen- und Zeitangaben imaginär werden. Da aber die Mess- werte aller physikalischer Größen reell sind, schließen wir daraus, dass sich kein Körper mit Überlichtgeschwindigkeit bewegen kann. Beispiel: Addition von Geschwindigkeiten a)Stellen wir uns vor, ein Körper bewege sich mit drei Viertel der Lichtgeschwindig- keit relativ zu einer Rakete, die sich ihrerseits mit der halben Lichtgeschwindigkeit relativ zu uns bewegt. Müsste sich der Körper relativ zu uns nicht mit Überlicht- geschwindigkeit bewegen? b)Ein weiteres Beispiel ist die Fluchtbewegung der Galaxien. Je größer die Entfernung einer Galaxie ist, desto rascher entfernt sie sich auf Grund der Expansion des Welt- alls von uns. Es gibt sehr weit entfernte Galaxien, die drei Viertel der Lichtgeschwin- digkeit haben. Müssten zwei solche Galaxien, die sich nach entgegengesetzten Richtungen von uns entfernen, nicht relativ zu einander die eineinhalbfache Lichtge- schwindigkeit haben? Um diese Fragen zu beantworten, betrachten wir ein Teilchen T, das sich relativ zu S ’ mit der Geschwindigkeit u’ in x’ -Richtung bewegt ( 22.1 ). Mit welcher Geschwindigkeit u bewegt sich das Teilchen relativ zu S? Das Teilchen bewegt sich in S’ gemäß der Gleichung u’ = x’ / t’ und in S gemäß der Gleichung u = x / t . Zur Umrechnung setzen wir für x und t nach der Lorentz-Transformation ein: É Beispiel: Längenkontraktion Wir betrachten einen Eisenbahnwaggon (System S’), der entlang der x’ -Achse fährt und in seinem Ruhsystem die Länge l ’ hat ( x’ hinten = 0, x’ vorne = l ’ ): Wie groß ist die Länge des Waggons gemessen im System S ? Mit Hilfe der Lorentz-Transformation berech- nen wir die x- Koordinaten der beiden Waggon- Enden zu einem bestimmten Zeitpunkt t. Die Differenz der beiden Koordinaten ist dann die Länge l des Waggons in S. Wir kennen x’ und t und wollen x ausrechnen. Daher müssen wir die Lorentz-Transformation zuerst geeignet umformen: x’ = w x = x’ + vt Waggon-Ende ( x’ = 0): x hinten = 0· + vt Waggon-Anfang ( x’ = l ’ ): x vorne = l ’· + vt x vorne – x hinten = l ’ · Die Länge des Waggons in S ist also l = l ’ · . Dies ist kleiner als l ’ , der Wag- gon ist in S also verkürzt bzw. kontrahiert. z y x S z’ y’ x’ v S’ T u’ 22.1 Bei der Umrechnung der Geschwindig- keit eines Teilchens in ein anderes Bezugssys- tem darf man die Relativgeschwindigkeit der Bezugssysteme nicht einfach zur Geschwindig- keit des Teilchens addieren. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv