Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

98 Zusammenfassung: Zufallsvariable und ihre Verteilungen 402 Die Lebensdauer eine LED-Lampe kann durch eine Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion f mit f(x) = 1 _ 50 ·e ‒ x _ 50 beschrieben werden. Dabei gibt X die Funktionsdauer in 1 000 Stunden an. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die LED-Lampe a. weniger als 10000 Stunden, b. mehr als 60000 Stunden funktionstüchtig ist. 403 Ordne den hier abgebildeten Dichtefunktionen ( a. , b. , c. ) die zugehörige Verteilungsfunktion ( A , B , C , D ) zu. a. b. c. A B C D 404 Die Zufallsvariable Z ist standardnormalverteilt. Finde die passenden Darstellungen der Wahr- scheinlichkeit mithilfe der Verteilungsfunktion Φ . a. P(Z < ‒ 0,75) b. P(Z > 1) c. P(0 ª Z ª 0,75) d. P(‒1 < Z < 1) A Φ (1) C 1 – Φ (1) E Φ (0,75) – Φ (0) G 2· Φ (1) I Φ (0) – Φ (0,75) B Φ (‒1) D Φ (0,75) F 1 – Φ (0,75) H 2· Φ (1) – 1 J Φ (‒ 0,75) 405 Einer Statistik aus dem Jahr 2008 zufolge sind 9% aller Privatpersonen in Österreich überschul- det. Das bedeutet, dass in jener Personengruppe die monatlichen Einkünfte nicht ausreichen, die offenen Kreditraten zu begleichen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Gruppe von 20 zufällig ausgewählten Österreicherinnen und Österreichern zwei oder mehr überschuldet sind. 406 Zucchini werden in Netzen mit einer Sollmasse von 500g abgepackt. Eine Überprüfung hat erge- ben, dass der Mittelwert dabei 510g und die Standardabweichung 20g beträgt. Berechne, wie viel Prozent der Packungen weniger als die angegebenen 500g wiegen, unter der Annahme, dass die Sollmasse normalverteilt ist. 407 Streusalz wird in Säcken zu 20 kg abgepackt. Die Maschine, die für die Befüllung dieser Säcke zuständig ist, arbeitet nach einer Normalverteilung mit einer Standardabweichung von 0,1 kg. Ermittle, auf welchen Erwartungswert diese Maschine eingestellt werden muss, damit nicht mehr als 5% aller Säcke unter 20 kg wiegen. 408 Bei einer Tombola gibt es unter 100 Losen 10 Gewinne. Petra geht nach folgendem Plan vor: Sie kauft zunächst 3 Lose. Befindet sich darunter kein Gewinn kauft sie weitere 2 Lose. Sind das wie- der Nieten, kauft sie nochmals eines. Berechne die Wahrscheinlichkeit, mit der sie Erfolg hat, und den Erwartungswert des Einsatzes, wenn ein Los 10€ kostet. A, B C x f(x) 0 - 2 2 4 6 8 10 - 0,2 0,2 0,4 f x f(x) 0 - 2 2 4 6 8 10 - 0,2 0,2 0,4 f x f(x) 0 - 2 2 4 6 8 10 - 0,2 0,2 0,4 f x y 0 4 8 12 0,4 0,8 F x y 0 4 8 12 0,4 0,8 F x y 0 4 8 12 0,4 0,8 F x y 0 4 8 12 0,4 0,8 F C A, B A, B A, B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv