Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

97 Zusammenfassung: Zufallsvariable und ihre Verteilungen 397 Eine Maschine zur Abpackung von Gemüse arbeitet nach einer Normalverteilung mit einer Standardabweichung von 15g. a. Berechne, wie viel Prozent aller Packungen weniger als 195g wiegen, wenn die Abfüllmenge auf einen Erwartungswert von 200g eingestellt wird. b. Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass bei diesem Erwartungswert eine zufällig gezogene Ver- packung zwischen 190g und 210g wiegt. c. Berechne, auf welche Füllmenge (= Mittelwert) die Maschine eingestellt werden muss, damit höchstens 9% aller Packungen weniger als 200g wiegen. 398 Einer Statistik zufolge sind in Österreich 8% aller Männer und 2% aller Frauen alkoholkrank. a. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass unter 50 zufällig ausgewählten Frauen mindestens eine alkoholkrank ist. b. Für eine statistische Untersuchung wurden zufällig 500 Männer und 500 Frauen ausgewählt. Berechne jeweils den Erwartungswert und die Standardabweichung für die Anzahl der alko- holkranken Männer und die Anzahl der alkoholkranken Frauen in dieser Stichprobe. c. Berechne, wie viele Männer man zufällig auswählen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% mindestens einen alkoholkranken darunter zu haben. 399 Ordne den Flächen ( a. , b. , c. , d. ) unter dem Graphen der Dichtefunktion der Standardnormal- verteilung die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten ( A , B , C , D , E , F ) zu. A P(Z = 0,5) C P(Z < 0,5) E P(0 < Z < 0,5) B P(‒ 0,5 ª Z ª 0,5) D P(Z º 0,5) F P(Z ª 0,5) a. c. b. d. 400 Argumentiere, warum bei einer binomialverteilten Zufallsvariablen mit den Parametern n und p stets μ ª n gelten muss. 401 Es werden n Würfel geworfen. Die Zufallsvariable X zählt die Anzahl der dabei geworfenen „Vierer“. Welche der Behauptungen sind richtig? Zeige durch eine Rechnung, wie man auf das richtige Resultat kommt. A μ = 4n C μ = 4 _ n E σ = 9 _ n G σ = 9 __ 5n _ 6 B μ = 6n D μ = n _ 6 F σ = 9 _ n _ 6 H σ = 9 _ n _ 4 A, B A, B C x f(x) 0 0,2 0,4 3 2 1 - 3 - 2 - 1 x f(x) 0 0,2 0,4 3 2 1 - 3 - 2 - 1 x f(x) 0 0,2 0,4 3 2 1 - 3 - 2 - 1 x f(x) 0 0,2 0,4 3 2 1 - 3 - 2 - 1 D B, C Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv