Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

95 Zusammenfassung: Zufallsvariable und ihre Verteilungen Ist X eine stetige Zufallsvariable mit Wertebereich M X = [c; d] und Dichtefunktion f, dann heißt E(X) = : c d x·f(x) dx der Erwartungswert von X. Wenn X eine stetige Zufallsvariable bezeichnet, dann heißt x p das p-Fraktil (oder p-Quantil oder p-Perzentil ) der Verteilung von X, wenn gilt: P(X ª x p ) = p x 0,25 und x 0,75 heißen unteres bzw. oberes Quartil . x 0,5 heißt Median der Verteilung. Er teilt den Wertebereich von X in zwei Teile mit gleicher Wahr- scheinlichkeit 0,5. Ist X eine stetige Zufallsvariable mit Wertebereich M X = [c; d] und Dichtefunktion f, so heißt V(X) = E((X – E(X)) 2 ) = : c d (x – E(X)) 2 f(x) dx die Varianz und σ = 9 ___ V(X) die Standardabweichung von X. V(X) = E(X) 2 – E(X) 2 Eine stetige Zufallsvariable X mit dem Wertebereich M X = R heißt normalverteilt mit den Para- metern μ und σ 2 (Schreibweise: X ~ N( μ ; σ 2 )), wenn ihre Dichtefunktion f f(x) = 1 _ 9 __ 2 π · σ e ‒ 1 _ 2 2 x – μ _ σ 3 2 ist. Ist X eine normalverteilte Zufallsvariable mit Parametern μ und σ 2 , dann ist E(X) = μ und V(X) = σ 2 . Ist eine Zufallsvariable X normalverteilt mit den Parametern μ = 0 und σ 2 = 1, so heißt sie standardnormalverteilt (X ~ N(0; 1 2 )). Ihre Dichtefunktion wird mit φ , ihre Verteilungsfunktion mit Φ und ihre Fraktile werden mit u p bezeichnet. Es gilt dann φ (x) = 1 _ 9 __ 2 π e ‒ x 2 _ 2 und Φ (u p ) = p. Ist X ~ N( μ ; σ 2 ) und Z = X – μ _ σ , so ist Z ~ N(0; 1 2 ). Ist X ~ N( μ ; σ 2 ) und F die Verteilungsfunktion von X, so gilt F(x) = Φ 2 x – μ _ σ 3 und damit P(X ª a) = Φ 2 a – μ _ σ 3 P(X º a) = 1 – Φ 2 a – μ _ σ 3 P(a ª X ª b) = Φ 2 b – μ _ σ 3 – Φ 2 a – μ _ σ 3 Ist die Zufallsgröße X binomialverteilt mit den Parametern n und p (X ~ B n; p ), so ist ihr Erwar- tungswert μ = n·p und ihre Standardabweichung σ = 9 ______ n·p·(1 – p) . Wenn σ > 3, bzw. σ 2 > 9 ist, so kann man die Verteilung von X durch die Normalverteilung N( μ ; σ 2 ) approximieren. Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariablen Fraktil unteres und oberes Quartil Median Varianz und Standardab- weichung einer stetigen Zufalls- variablen Verschiebungs- satz Normal- verteilung Standardnor- malverteilung Standard- isierung Approximation der Binomial- verteilung durch die Normal- verteilung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv