Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

94 Zusammenfassung Ist die Grundmenge Ω eines Zufallsexperimentes endlich, so nennt man eine Funktion X: Ω ¥ R eine diskrete Zufallsvariable . Eine diskrete Zufallsvariable ordnet jedem Ausgang des Zufalls- experimentes eine reelle Zahl zu. Die Menge M X = {X( ω ) ‡ ω * Ω } heißt die Wertemenge der Zufallsvariablen X und ist eine Menge von reellen Zahlen. Ist M X = {x 1 , x 2 , … , x n }, so schreiben wir p i = P(X = x i ) = P({ ω : X( ω ) = x i }). Die Funktion M X ¥ [0; 1], x i ¦ P(X = x i ) ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung oder Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsvariablen X. Ist X eine diskrete Zufallsvariable mit M x = {x 1 , x 2 , … , x n } und p i = P(X = x i ), so heißt E(X) = ; i = 1 n p i ·x i der Erwartungswert von X. Haben zwei Zufallsvariable X und Y dieselbe Grundmenge, dann ist E(X + Y) = E(X) + E(Y) . Ist X eine diskrete Zufallsvariable mit M x = {x 1 , x 2 , … , x n } und p i = P(X = x i ), so heißt V(X) = ; i = 1 n p i (x i – E(X)) 2 die Varianz von X. Die Standardabweichung oder Streuung von X ist die Wurzel aus der Varianz σ = 9 ___ V(X). Ein Zufallsexperiment mit n unabhängigen Einzelversuchen wird durchgeführt. Die Zufallsvariab- le X gibt an, wie oft dabei ein Ereignis E eintritt. Ist p die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von E, so sagt man, dass die Zufallsvariable X binomialverteilt mit den Parametern n und p ist (X ~ B n; p ). Es ist dann P(X = k) = 2 n k 3 p k (1 – p) n – k . Es ist E(X) = n · p , V(X) = n · p · (1 – p) , σ = 9 ______ n·p·(1 – p) . Eine Zufallsvariable X heißt stetig , wenn ihr Wertebereich M X ein Intervall, eine Halbgerade oder die Menge aller reellen Zahlen ist. Ist X eine stetige Zufallsvariable mit der Wertemenge M X , so nennt man die Funktion F: M X ¥ [0; 1] mit F(x) = P(X ª x) Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X. Sie ist stets monoton wachsend und nimmt nur Werte von 0 bis 1 an. Wenn die Verteilungsfunktion F der Zufallsvariablen X differenzierbar ist, so nennt man die Ableitung der Verteilungsfunktion die Dichtefunktion der Zufallsvariablen X. Anstelle von F’ bezeichnet man die Dichtefunktion für gewöhnlich mit f. Die Fläche der Menge zwischen M X und dem Graphen von f ist gleich 1. Für zwei Zahlen a < b mit a, b * M X ist P(a ª X ª b) = : a b f(x) dx = F(b) – F(a) . diskrete Zufallsvariable Wertemenge Wahrscheinlich- keitsverteilung Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen Varianz einer diskreten Zu- fallsvariablen Standard- abweichung binomial- verteilte Zufallsvariable stetige Zufalls- variable Verteilungs- funktion Dichtefunktion Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv