Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

92 Zufallsvariable und ihre Verteilungen 382 Jemand würfelt mit 100 Würfeln gleichzeitig und zählt die Anzahl der Würfel, die einen Einser zeigen. a. Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung für die Anzahl der Einser. b. Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass 20 oder mehr Einser darunter sind. c. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 10 Einser darunter sind? Berechne. 383 Beim Roulette gibt es die 37 Zahlen von 0 bis 36. Davon haben 18 die Farbe Rot und 18 die Farbe Schwarz (die Null ist grün). Herr X. kontrolliert im Auftrag des Casinos die Roulettekessel und will überprüfen, wie oft die Kugel in 200 Spielrunden auf Rot landet. a. Berechne den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ . b. Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel weniger als 100-mal auf Rot landet. c. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel mehr als 110-mal auf Rot landet. d. Der Roulettekessel wird als bedenklich eingestuft, wenn die Anzahl der roten Ausgänge außerhalb der doppelten Standardabweichung liegen. Wie oft muss Rot daher mindestens und wie oft darf es höchstens kommen, damit der Roulettekessel nicht als bedenklich einge- stuft wird? Berechne. e. Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass ein Roulettekessel, der in Wirklichkeit in Ordnung ist, als bedenklich eingestuft wird. 384 Ein Test besteht aus 50 Multiple-Choice-Aufgaben. Für jede Frage gibt es drei vorgegebene Antworten, von denen jeweils genau eine richtig ist. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass man bei rein zufälligem Ankreuzen … a. … alle Fragen richtig beantwortet. b. … alle Fragen falsch beantwortet. c. … genau 20 Fragen richtig beantwortet. d. … mindestens 25 Fragen richtig beantwortet (Note „Genügend“),. e. … mindestens 45 Fragen richtig beantwortet (Note „Sehr gut“). Hinweis: Überlege zunächst, bei welchen dieser Aufgaben eine Approximation durch die Normal- verteilung sinnvoll ist. 385 In einem Flugzeug gibt es 350 Plätze. Erfahrungsgemäß treten 4% aller, die einen Platz reserviert haben, ihren Flug nicht an. Berechne wie viele Reservierungen entgegengenommen werden dür- fen, damit mit 95% Wahrscheinlichkeit alle Kommenden Platz haben. Wir bezeichnen mit X die Anzahl der tatsächlich kommenden Fluggäste, wenn eine noch unbe- kannte Anzahl von n Reservierungen vorliegt. Dann ist X ~ B n; 0,96 . Wir berechnen μ = n·0,96 = 0,96n und σ = 9 _______ n·0,96·0,04 = 9 _____ 0,0384n . Da n auf jeden Fall größer als 350 ist, ist σ > 9 ______ 0,0384·350 ≈ 3,67, also σ > 3 und wir können mit der Normalverteilung approximieren. Gefordert ist P(X ª 350) = 0,95. P(X ª 350) = Φ 2 350 – μ _ σ 3 = Φ 2 350 – 0,96n __ 9 __ __ 0,0384n 3 = 0,95 Aus der Tabelle der Standardnormalverteilung entnehmen wir 0,95 = Φ (1,645), also ist 350 – 0,96n __ 9 __ __ 0,0384n = 1,645. Lösen wir diese Gleichung nach n auf, so erhalten wir n ≈ 358,23. Es können also 358 Plätze vergeben werden. A, B A, B A, B ggb/xls/mcd 4y96ig A, B den Parameter n einer normal- verteilten Zufallsvariablen berechnen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv