Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

91 2.5 Normalverteilung Tipp Je größer n ist, umso geringer wirkt sich die Stetigkeitskorrektur aus. 376 X ist binomialverteilt mit den Parametern n = 500 und p = 0,3. a. Überprüfe und begründe, ob man die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung appro- ximieren darf. b. Berechne näherungsweise die Wahrscheinlichkeit P (130 ª X ª 160) mithilfe der Normalvertei- lung mit Stetigkeitskorrektur. a. Da n = 500 und p = 0,3 ist μ = 500·0,3 = 150 und σ = 9 _______ 500·0,3·0,7 = 10,25. Also ist σ > 3 und die Approximation durch die Normalverteilung ist zulässig. b. P(130 ª X ª 160) = P(X ª 160) – P(X < 130) ≈ Φ 2 160 + 0,5 – 150 __ 10,25 3 – Φ 2 130 – 0,5 – 150 __ 10,25 3 ≈ ≈ Φ (1,024) – Φ (‒ 2) = 0,8471 – 0,0228 = 0,8243. Die Wahrscheinlichkeit beträgt näherungsweise 82,43%. 377 Überprüfe und begründe, ob man die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung approxi- mieren darf. Wenn ja, berechne den Näherungswert. a. X ~ B 60; 0,2 ; P(X ª 20) = b. X ~ B 100; 0,5 ; P(X ª 40) = c. X ~ B 30; 0,1 ; P(X ª 10) = 378 Überprüfe und begründe, ob man die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung approxi- mieren darf. Wenn ja, berechne den Näherungswert. a. X ~ B 200; 0,4 ; P(50 ª X ª 100) = b. X ~ B 80; 0,7 ; P(60 ª X ª 70) = c. X ~ B 1000; 0,1 ; P(100 ª X ª 200) = 379 Überprüfe und begründe, ob man die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung approxi- mieren darf. Wenn ja, berechne den Näherungswert. a. X ~ B 360; 0,5 ; P(X º 200) = b. X ~ B 20; 0,3 ; P(X > 5) = c. X ~ B 2000; 0,05 ; P(X > 95) = 380 Ermittle, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, bei 1 000 Würfen eines Würfels mehr als 150 Sechser zu erhalten. Wir bezeichnen mit X die Anzahl der Sechser bei 1 000 Würfen. Dann ist X ~ B 1000; 1 _ 6 . Wir berechnen μ = 1 000· 1 _ 6 = 166,67 und σ = 9 _____ 1 000· 1 _ 6 · 5 _ 6 = 11,79. Da σ > 3 ist, können wir durch eine Normalverteilung approximieren und erhalten P(X > 150) = 1 – P(X ª 150) = 1 – Φ 2 150,5 – 166,67 __ 11,79 3 = 1 – Φ (‒1,37) = 1 – 0,0853 = 0,9147. Da es sich hierbei nur um eine Approximation handelt, hat es keinen Sinn, das Ergebnis mit einer solchen (scheinbaren) Genauigkeit anzugeben. Daher formulieren wir als Antwort: Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. 0,91. Tipp Wenn die Voraussetzungen erfüllt sind, berechne die folgenden Aufgaben näherungsweise mit- hilfe der Normalverteilung. 381 Auf einem Glücksrad befinden sich 10 gleich große Felder, eines davon bezeichnet den Haupt- gewinn. 100 Personen drehen das Rad je einmal. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der Hauptgewinn nur 7- bis 10-mal ausgezahlt werden muss … a. … exakt mithilfe der Binomialverteilung. b. … näherungsweise mithilfe der Normalverteilung mit Stetigkeitskorrektur und gib die absolute Abweichung vom exakten Wert an. ggb/xls/mcd s8r8zg überprüfen, ob die Binomial- verteilung durch die Normal- verteilung approximiert werden darf B, C B, D B, D B, D xls/mcd 67he5t Wahrschein- lichkeit einer binomialverteil- ten Zufallsva- riablen mit der Approximation durch die Nor- malverteilung berechnen A, B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv