Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

90 Zufallsvariable und ihre Verteilungen Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung Wir haben bereits früher darauf hingewiesen, dass sich Binomialverteilungen für großes n immer mehr einer Normalverteilung annähern. Nachdem eine binomialverteilte Zufallsvariable den Erwartungswert n·p und die Varianz n·p·(1 – p) hat, kann man sie durch eine Normalverteilung mit diesen Parametern approximieren. Diese Annäherung ist dann hinreichend genau, wenn n ausreichend groß und die Verteilung nicht zu unsymmetrisch ist. Tipp Als Faustregel dient dabei σ 2 = n·p·(1 – p) > 9. Als Näherung kann man dann rechnen P(X < k) ≈ Φ 2 k – μ _ σ 3 . Ist die Zufallsgröße X binomialverteilt mit den Parametern n und p (X ~ B n; p ), so ist ihr Erwar- tungswert μ = n·p und ihre Standardabweichung σ = 9 ______ n·p·(1 – p). Wenn σ > 3, bzw. σ 2 > 9 ist, so kann man die Verteilung von X durch die Normalverteilung N( μ ; σ 2 ) approximieren. Diese Approximation bringt rechentechnisch große Vorteile, da Binomialkoeffizienten mit großen Zahlen schwierig zu bestimmen sind, während man für die Normalverteilung nur die Tabelle der Funktion Φ benötigt. Allerdings kommt es bei dieser Methode zu kleinen systematischen Abwei- chungen, die wir uns an einem Beispiel ansehen: Wir betrachten dazu die Zufallsvariable X ~ B 40; 0,5 und wollen P(X = 25) berechnen. In so einem Fall ist es natürlich viel einfacher, die Wahrscheinlichkeit direkt zu berechnen. Wir erhalten P(X = 25) = 2 40 25 3 ·0,5 25 ·0,5 15 = 0,03658. Jetzt rechnen wir das Gleiche mithilfe der Normalverteilung. Es ist μ = 40·0,5 = 20 und σ 2 = 40·0,5·0,5 = 10 > 9. Da bei der Binomialverteilung X stets ganzzahlig ist, könnten wir eigentlich rechnen P(X = 25) = P(24 < X < 26). Wir sehen, dass dieses Intervall im stetigen Fall die Breite 26 – 24 = 2 hat. Wollen wir aber P(X = 25) berechnen, so müsste das entsprechende Intervall die Breite 1 besitzen. Wir können dieses Problem lösen, indem wir rechnen P(X = 25) = P(24,5 < X < 25,5) = P(X < 25,5) – P(X < 24,5) ≈ Φ 2 25,5 – 20 __ 9 _ 10 3 – Φ 2 24,5 – 20 __ 9 _ 10 3 = = Φ (1,74) – Φ (1,42) = 0,95907 – 0,92220 = 0,03687. Natürlich wird man eine Wahrscheinlichkeit der Form P(X = k) nicht über den in diesem Fall viel umständlicheren Weg der Normalverteilung rechnen, aber auch bei der Berechnung von P(X ª k) wird die Wahrscheinlichkeit von P(X = k) nur zur Hälfte erfasst. Um diesen Fehler zu korrigieren kann man für eine möglichst genaue Approximation die sogenannte Stetigkeitskorrektur aus- führen. Wenn X binomialverteilt ist und σ > 3, bzw. σ 2 > 9, so kann die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung approximiert werden. Es gilt dann P(X ª k) = Φ 2 (k + 0,5) – μ __ σ 3 bzw. P(X < k) = Φ 2 (k – 0,5) – μ __ σ 3 bzw. P(k 1 ª X ª k 2 ) = P(X ª k 2 ) – P(X < k 1 ) Dabei sind μ = n·p und σ = 9 ______ n·p·(1 – p) der Erwartungswert bzw. die Standardabweichung der binomialverteilten Zufallsgröße X. Letztere Formel rührt daher, dass im Falle der Binomialverteilung durch die Rechnung P(X ª k 2 ) – P(X ª k 1 ) der Wert k 1 ausgeschlossen würde, wogegen er bei P(X ª k 2 ) – P(X < k 1 ) berücksichtigt wird. Approximation der Binomial- verteilung durch die Nor- malverteilung Approximation der Binomial- verteilung B n; p durch die Nor- malverteilung mit Stetigkeits- korrektur ggb at9h7x Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv