Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

89 2.5 Normalverteilung 368 95% der Birnen, die ein Obstbauer erntet, sind zwischen 120g und 160g schwer. Berechne die Standardabweichung der Masse der Birnen unter der Voraussetzung, dass die Masse normalver- teilt ist und das angegebene Intervall symmetrisch um den Erwartungswert liegt. Nachdem das Intervall [120; 160] symmetrisch um den Erwartungswert liegt, muss dieser μ = 120 + 160 __ 2 = 140 sein. Weiters schließen wir aus dieser Symmetrie, dass von den verbleibenden 5% die Hälfte, also 2,5% schwerer als 160g sind. Das heißt aber auch, dass 100% – 2,5% = 97,5% leichter sind als 160g. Bezeichnen wir die Masse einer zufällig gewählten Birne mit X, so ist P(X ª 160) = 0,975. Durch Standardisieren erhalten wir Φ 2 160 – μ _ σ 3 = Φ 2 160 – 140 __ σ 3 = Φ 2 20 _ σ 3 = 0,975. Der Tabelle der Standardnormalverteilung entnehmen wir 0,975 = Φ (1,96), also ist 20 _ σ = 1,96. Daher ist σ = 20 _ 1,96 = 10,2g. 369 90% der männlichen Österreicher sind zwischen 165 cm und 185 cm groß. Berechne die Stan- dardabweichung der Größe der männlichen Österreicher unter der Voraussetzung, dass die Grö- ße normalverteilt ist und das angegebene Intervall symmetrisch um den Erwartungswert liegt. 370 99% der Ketchupflaschen einer bestimmten Marke enthalten zwischen 245g und 255g Ketchup. Berechne die Standardabweichung der Füllmenge unter der Voraussetzung, dass die Füllmenge normalverteilt ist und das angegebene Intervall symmetrisch um den Erwartungswert liegt. 371 Eine Mühle will Mehl in 1 kg Packungen so abfüllen, dass bei höchstens 1% der Packungen die Füllmenge um mehr als 30g vom Sollwert abweicht. Ermittle die zulässige Standardabweichung für die Abfüllanlage unter der Voraussetzung, dass die Füllmenge normalverteilt ist und die mitt- lere Füllmenge der Sollmenge entspricht. 372 In einer Massenfertigung für Bolzen mit Solldurchmessern von 12mm soll die Produktionsanlage so justiert werden, dass bei höchstens 0,5% der Bolzen der Durchmesser um mehr als 0,1mm vom Sollwert abweicht. Ermittle die zulässige Standardabweichung für die Produktionsanlage unter der Voraussetzung, dass die Durchmesser normalverteilt sind und der mittlere Durchmes- ser dem Sollwert entspricht. 373 Ein Hersteller von Powerdrinks weiß, dass in 95% seiner Dosen mehr als 0,25 ® aber nur in 5% der Dosen mehr als 0,30 ® enthalten sind. Berechne den Erwartungswert und die Standardabwei- chung der Füllmenge der Dosen unter der Voraussetzung, dass die Füllmenge normalverteilt ist. 374 In einer Fabrik werden Spanplatten hergestellt. Die Dicke von 21,9mm wird in 5% der Fälle unterschritten, eine Überschreitung von 22,2mm ist nur in 1% der Platten der Fall. a. Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung der Dicke der Platten unter der Voraussetzung, dass die Dicke normalverteilt ist. b. Berechne, wie viel Prozent der Spanplatten zwischen 22,0mm und 22,1mm breit sind. 375 Für ein Flüssigwaschmittel wurde in 10% der Flaschen eine Unterschreitung der Füllmenge von 1 490m ® ermittelt, wohingegen in 5% der Fälle die Füllmenge von 1 520m ® überschritten wurde. a. Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung der Füllmenge unter der Voraus- setzung, dass die Füllmenge normalverteilt ist. b. Berechne, wie viel Prozent der Flaschen weniger als 1 500m ® enthalten. ggb/xls/mcd/tns xw558b die Standardab- weichung einer normalverteil- ten Zufallsvaria- blen berechnen A, B A, B A, B A, B A, B A, B A, B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv