Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

88 Zufallsvariable und ihre Verteilungen 363 Die Füllmenge von Reispackungen ist normalverteilt mit dem Erwartungswert von 1 002g und einer Standardabweichung von 3g. Ermittle, wie viel Gramm in 90% der Packungen höchstens enthalten sind. 364 Die Zeit, die Andreas für den Weg zur Schule benötigt, ist normalverteilt mit μ = 40 Minuten und σ = 7 Minuten. Der Unterricht beginnt um 8 Uhr. Berechne, wann Andreas die Wohnung verlassen muss, damit er mit Wahrscheinlichkeit 0,95 nicht zu spät kommt. 365 Eine Maschine, die Schrauben herstellt, arbeitet mit einer Standardabweichung von σ = 0,75mm. Diese Maschine soll Schrauben von 50mm Länge erzeugen. Berechne, auf welche Länge ( μ ) die Maschine eingestellt werden muss, damit … a. … höchstens 5% aller Schrauben kürzer als 50,00mm sind. b. … höchstens 10% aller Schrauben länger als 51,00mm sind. a. Wir müssen die Gleichung P(X ª 50,00) = 0,05 lösen. Um die Wahrscheinlichkeit P(X ª 50,00) zu berechnen, müssen wir standardisieren: Z = x – μ _ σ = 50,00 – μ __ 0,75 Dadurch wird die Gleichung zu P 2 Z ª 50,00 – μ __ 0,75 3 = 0,05 bzw. Φ 2 50,00 – μ __ 0,75 3 = 0,05. Aus der Tabelle der Standardnormalverteilung entnehmen wir 0,05 = Φ (‒1,645), also ist 50,00 – μ __ 0,75 = ‒1,645. Wir lösen diese Gleichung und erhalten μ = 51,23. Die Schraubenlänge muss auf 51,23mm eingestellt werden. b. Wir müssen die Gleichung P(X º 51,00) = 0,10 lösen und benutzen dazu die Gegenwahrschein- lichkeit P(X < 51,00) = 0,90. Wir suchen daher eine Zahl μ so, dass Φ 2 51,00 – μ __ 0,75 3 = 0,90 ist. Aus der Tabelle der Standardnormalverteilung erhalten wir 0,9 = Φ (1,285), also ist 51,00 – μ __ 0,75 = 1,285. Umformen liefert μ = 50,04. Die Maschine muss auf 50,04mm Schraubenlänge eingestellt werden. 366 Eine Maschine verpackt Erdäpfel in Säcken mit einem Nenngewicht von 5 kg. Aufgrund der unterschiedlichen Größen der Erdäpfel arbeitet die Maschine mit einer Standardabweichung von 0,15 kg. Berechne, auf welches Abfüllgewicht die Maschine eingestellt werden muss, … a. … wenn höchstens 5% aller Säcke die angegebenen 5 kg unterschreiten dürfen. b. … wenn höchstens 15% aller Säcke mehr als 5,2 kg wiegen sollen. 367 Eine Maschine, die Medikamente in Einheiten zu je 30m ® abfüllt, arbeitet mit einer Standard- abweichung von 0,05m ® . a. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die tatsächliche Füllmenge zwischen 30m ® und 30,1m ® liegt. b. Ermittle, wie viel Prozent aller Einheiten weniger als 29,9m ® enthalten. c. Gib an, auf welche Füllmenge die Maschine eingestellt werden muss, damit höchstens 0,5% aller Einheiten die angegebenen 30m ® unterschreiten. A, B A, B ggb/xls/mcd/tns sf4uk7 den Erwartungswert einer normal- verteilten Zufallsvari- ablen unter vorgegebenen Bedingungen berechnen A, B A, B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des V rlags öbv