Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

86 Zufallsvariable und ihre Verteilungen Rechnen mit Normalverteilungen Wollen wir Wahrscheinlichkeiten einer normalverteilten Zufallsvariablen N ( μ ; σ 2 ) berechnen, wäre der direkte Weg das Integrieren der Dichtefunktion. Da das bei der Normalverteilung nur näherungsweise möglich ist, würde man für jede Parameterkombination eine eigene Tabelle mit den Werten der entsprechenden Verteilungsfunktion benötigen. Es gibt aber eine Möglichkeit, mit einer einzigen Tabelle auszukommen: eine Transformation auf die Standardnormalvertei- lung . Dazu verwenden wir die folgende Beziehung: Ist X normalverteilt mit den Parametern μ und σ 2 , also X r N ( μ ; σ 2 ), dann ist Z = X – μ _ σ standardnormalverteilt, also Z r N (0; 1 2 ). Nachdem die Verteilungsfunktion Φ der Standardnormalverteilung tabelliert ist, kann man mit- hilfe dieser Transformation alle Normalverteilungswahrscheinlichkeiten berechnen. Tipp Bei der Bestimmung des Funktionswerts von Φ für negative Argumente kann auf Grund der Symmetrie der Verteilung die Beziehung Φ (‒ x) = 1 – Φ (x) verwendet werden. Das ist hilfreich, wenn man nur eine Tabelle mit positiven Argumenten von Φ zur Verfügung hat. Die Berechnungen mithilfe der Standardisierung können auch so zusammengefasst werden: Ist X r N ( μ ; σ 2 ) und F die Verteilungsfunktion von X, so gilt F(x) = Φ 2 x – μ _ σ 3 und damit P(X ª a) = Φ 2 a – μ _ σ 3 , P(X º a) = 1 – Φ 2 a – μ _ σ 3 , P(a ª X ª b) = Φ 2 b – μ _ σ 3 – Φ 2 a – μ _ σ 3 . 353 Die Zufallsvariable X ist normalverteilt, mit dem angegebenen Erwartungswert μ und der Stan- dardabweichung σ . Führe die Standardisierung durch und berechne die gesuchte Wahrschein- lichkeit. a. μ = 12, σ = 4 P(X ª 15) = e. μ = 49, σ = 3,75 P(40 ª X ª 50) = b. μ = 9, σ = 2,5 P(X ª 8) = f. μ = 35, σ = 7 P(25 ª X ª 40) = c. μ = 11, σ = 1,2 P(X º 14) = g. μ = 3, σ = 0,6 P(‒1 ª X ª 2,7) = d. μ = 6, σ = 2 P(5 ª X ª 7) = h. μ = 22, σ = 10 P(20 ª X ª 30) = 354 Die Länge eines Werkstücks in Millimetern ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 74mm und der Standardabweichung σ = 4mm. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein Werkstück zwischen 73mm und 76mm lang ist. Die Zufallsvariable X gibt die Länge des Werkstücks in Millimetern an. Daher ist X ~ N (74; 4 2 ). Wir standardisieren, indem wir Z = X – μ _ σ verwenden. P(73 ª X ª 76) = P 2 73 – 74 _ 4 ª Z ª 76 – 74 _ 4 3 = P 2 ‒ 1 _ 4 ª Z ª 1 _ 2 3 = Φ (0,5) – Φ (‒ 0,25). Mithilfe der Tabelle für die Standardnormalverteilung erhalten wir Φ (0,5) – Φ (‒ 0,25) = 0,6915 – 0,4013 = 0,2902. Das Werkstück ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 29,02% zwischen 73mm und 76mm lang. 355 Die Körpergröße von 10jährigen Buben ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 141 cm und der Standardabweichung σ = 4 cm. Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass ein 10jähriger Bub zwischen 145 cm und 148 cm groß ist. ggb jw2tj7 Transforma- tion auf die Standard- normal- verteilung Berechnung mithilfe der Standardisie- rung B ggb/xls/mcd/tns 93jd3v A, B Wahrschein- lichkeit einer normal- verteilten Zufallsvariablen berechnen A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv