Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

82 Zufallsvariable und ihre Verteilungen Die folgende Skizze zeigt die Graphen von Dichtefunktionen verschiedener Normalverteilungen mit unterschiedlichen Parametern μ und σ 2 : Die wichtigsten Eigenschaften der Dichtefunktion f einer Normalverteilung können mithilfe einer Kurvendiskussion bestimmt werden:  Der Graph von f ist symmetrisch bezüglich der senkrechten Geraden mit der Gleichung x = μ , das heißt: Für alle reellen Zahlen t ist f( μ – t) = f( μ + t).  f hat an der Stelle μ ein globales Maximum.  Der Graph von f hat Wendepunkte an den Stellen μ – σ und μ + σ .  : ‒ • • f(x) dx = 1 und lim x ¥ ‒ • f(x) = lim x ¥• f(x) = 0 Wenn wir die Graphen der Wahrscheinlichkeitsfunktionen von Binomialverteilungen betrachten, fällt auf, dass sie sich mit wachsendem n immer mehr dem Graphen der Dichtefunktion einer Normalverteilung annähern. Diese Konvergenz, die sich auch beweisen lässt, führt zur Interpretation, dass alle Größen, die sich als Summe vieler einzelner Einflüsse darstellen lassen, näherungsweise normalverteilt sind. Daraus erklärt sich das häufige Auftreten und die vielfache Verwendung dieser Verteilung. Die mathematisch exakte Formulierung dieses Sachverhalts heißt zentraler Grenzwertsatz und ist eine der wichtigsten Ergebnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie. Wir werden den daraus resultie- renden Approximationsmöglichkeiten in der schließenden Statistik noch häufig begegnen. Ist eine Zufallsvariable X normalverteilt mit den Parametern μ = 0 und σ 2 = 1, so heißt sie standardnormalverteilt (X r N(0; 1 2 )). Ihre Dichtefunktion wird mit φ (Kleinbuchstabe „Phi“), ihre Verteilungsfunktion mit Φ (Groß- buchstabe „Phi“) und ihre Fraktile werden mit u p bezeichnet. Es gilt dann φ (x) = 1 _ 9 __ 2 π e ‒ x 2 _ 2 und Φ (u p ) = p. Die Funktionswerte der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung können im Allgemeinen nicht exakt berechnet werden. Für die praktische Anwendung gibt es aber eine Tabelle (siehe Seite 380) mit den (ausreichend genau berechneten) Funktionswerten von Φ . Außerdem stellen sowohl Tabellenkalkulationsprogramme als auch Computeralgebrasysteme sowie manche Taschenrechner bereits entsprechende Funktionen zur Berechnung der Funktionswerte von Φ zur Verfügung. x f(x) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 - 8 -10 8 10 6 4 2 - 6 - 4 - 2 þ = - 4, ą = 2 þ = 0, ą = 1 þ = 4, ą = 0,5 Eigenschaften der Dichtefunk- tion einer Nor- malverteilung ggb vz7us7 i p i 10 0 20 30 50 40 0 0,1 0,05 0,15 n = 50, p = 0,2 i p i 10 0 20 30 50 40 0 0,1 0,05 0,15 n = 50, p = 0,5 i p i 10 0 20 30 50 40 0 0,1 0,05 0,15 n = 50, p = 0,8 Standard- normal- verteilung Nur zu Prüfzwecken – Eigent m des Verlags öbv