Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

81 2.5 Normalverteilung Ich lerne Eigenschaften der Normalverteilung kennen und den Graphen der Dichtefunktion zu skizzieren. Ich lerne Wahrscheinlichkeiten normalverteilter Zufallsvariablen zu berechnen. Ich lerne zu entscheiden, wann ich eine binomialverteilte Zufallsvariable durch eine normal- verteilte approximieren kann und ich lerne so Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Eigenschaften und Form der Normalverteilung Unter allen stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen nimmt die Normalverteilung (manchmal auch Gauß-Verteilung genannt) eine Sonderstellung ein, da sie bei vielen praktisch wichtigen Zufallsvariablen entweder exakt oder in guter Näherung auftritt. Ein typisches Beispiel sind dabei Wachstumsgrößen wie Körpermaße von Menschen, bestimm- ten Tierarten oder Pflanzengrößen. Betrachtet man etwa die Höhe von Getreidehalmen auf einem großen Feld, misst viele davon ab und stellt das Ergebnis in Form eines Histogramms dar, so wird sich im Wesentlichen folgendes Bild ergeben. Daraus kann man die Vermutung ableiten, dass die Dichtefunktion der Verteilung eine symmetri- sche Glockenform hat. Das ist für die Normalverteilung charakteristisch. Um ein möglichst allgemeines Modell zu erhalten, beschränkt man den Definitionsbereich nicht und definiert: Eine stetige Zufallsvariable X mit dem Wertebereich R und differenzierbarer Wahrscheinlichkeits- verteilung heißt normalverteilt mit den Parametern μ und σ 2 (Schreibweise: X r N( μ ; σ 2 )), wenn ihre Dichtefunktion f die Form f(x) = 1 _ 9 __ 2 π · σ e ‒ 1 _ 2 2 x – μ _ σ 3 2 hat. Dabei kann μ eine beliebige und σ 2 eine beliebige positive reelle Zahl sein. Man kann dann nachrechnen, dass die beiden Parameter μ und σ 2 gerade Erwartungswert und Varianz der Zufallsvariablen sind. Ist X eine normalverteilte Zufallsvariable mit Parametern μ und σ 2 , dann ist E(X) = μ und V(X) = σ 2 . abs. Häufigkeit Höhe Normal- verteilung Erwartungswert und Varianz einer normal- verteilten Zufallsvariablen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv