Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

80 Zufallsvariable und ihre Verteilungen 330 X ist eine stetige Zufallsvariable mit dem Wertebereich M X = [0; 2] und der Dichtefunktion f mit f(x) = 1 _ 2 x. Berechne die Standardabweichung und den Quartilsabstand von X. Nach Musteraufgabe 317 ist E(X) = 4 _ 3 , somit ist V(X) = E(X 2 ) – E(X) 2 = : 0 2 x 2 · x _ 2 dx – 2 4 _ 3 3 2 = x 4 _ 8 1 0 2 – 16 _ 9 = 16 _ 8 – 16 _ 9 = 2 _ 9 . Die Standardabweichung von X beträgt somit 9 _ 2 _ 9 = 9 _ 2 _ 3 = 0,471. Die Quartile x 0,25 = 1 und x 0,75 = 9 _ 3 haben wir bereits in Musteraufgabe 324 berechnet. Der Quartilsabstand ist also x 0,75 – x 0,25 = 9 _ 3 – 1 = 0,7321. 331 Von einer stetig verteilten Zufallsvariablen X sind der Wertebereich M X und die Dichtefunktion f bekannt. Berechne die Standardabweichung und den Quartilsabstand von X. a. M X = [0; 5], f(x) = 1 _ 5 b. M X = [0; 4], f(x) = 1 _ 8 x c. M X = [0; 2], f(x) = 3 _ 8 x 2 332 Bestimme für die stetig verteilte Zufallsvariable X mit einem Definitionsbereich M X = [0; 1] und Dichtefunktion f mit f(x) = 3 _ 2 x 2 + x die Standardabweichung und den Quartilsabstand. 333 Von einer stetigen Zufallsvariablen X sind der Wertebereich M X und die Dichtefunktion f bekannt. a. Berechne den Erwartungswert μ , die Varianz V(X) und die Standardabweichung σ . b. Zeichne den Graphen der Dichtefunktion. Markiere die Fläche unter der Dichtefunktion, die über dem Intervall [ μ – σ ; μ + σ ] liegt und berechne ihren Inhalt. Welche Bedeutung hat diese Fläche im Bezug auf die Zufallsvariable X? Interpretiere. I. M X = [0; 8], f(x) = 1 _ 8 II. M X = [0; 4], f(x) = x _ 8 III. M X = [0; • ), f(x) = 0,25·e ‒0,25x Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt? Ich kenne Verteilungs- und Dichtefunktion und kann mit ihrer Hilfe Wahrscheinlichkeiten von stetigen Zufallsvariablen berechnen. 334 Begründe, bei welcher der Funktionen es sich nicht um eine Verteilungsfunktion über dem Intervall [0; 10] handeln kann. A F mit F(x) = x _ 10 B G mit G(x) = x 2 _ 10 C H mit H(x) = – 0,036x 2 + 0,46x 335 Berechne mithilfe der Dichtefunktion f mit f(x) = 3·e ‒ 3x auf R + die Wahrscheinlichkeit P(1 ª X ª 2). Ich kann den Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariablen berechnen. 336 Die Lebensdauer einer LED-Lampe kann durch eine Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion f mit f(x) = 1 _ 10 ·e ‒ x _ 10 beschrieben werden. Dabei gibt X die Lebensdauer in 1000 Stunden an. Ermittle den Erwartungswert für die Lebensdauer einer solchen LED-Lampe. Ich kann Fraktile einer Verteilung berechnen. 337 Die Dichtefunktion einer stetigen Zufallsvariablen ist f mit f(x) = x _ 8 auf [0; 4]. Berechne den Median und die beiden Quartile der Zufallsvariablen X. Ich kann die Varianz einer stetigen Zufallsvariablen ermitteln. 338 Die stetige Zufallsvariable X hat die Dichtefunktion f mit f(x) = x _ 50 auf [0; 10]. Berechne die Varianz V(X) und die Standardabweichung σ . B ggb/xls/mcd/tns k2t4cu Standardab- weichung und Quartilsabstand berechnen B B A, B, C D B A, B B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv