Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

79 2.4 Stetige Zufallsvariable 326 Die Zufallsvariable X hat den Wertebereich M x = R + und Dichtefunktion f mit f(x) = e ‒x . Berechne den Median. Es muss gelten: 1 _ 2 = P(X ª x 0,5 ) = : 0 x 0,5 e ‒x dx = ‒ e ‒x 1 0 x 0,5 = ‒ e ‒x 0,5 + 1 = 1 – e ‒x 0,5 Aus 1 _ 2 = 1 – e ‒x 0,5 folgt e ‒x 0,5 = 1 _ 2 , daher ist der Median x 0,5 = ‒ ln 2 1 _ 2 3 = 0,693. 327 Berechne den Median und die Quartile der Zufallsvariablen X. a. M X = [0; • ), f(x) = 5e ‒5x b. M X = [0; • ), f(x) = 1 _ 8 e ‒ x _ 8 c. M X = [1; • ), f(x) = 1 _ x 2 328 Die Lebensdauer eines Akkus wird durch die Dichtefunktion f mit f(x) = 1 _ 500 ·e ‒ x _ 500 beschrieben. Dabei gibt die zugehörige Zufallsvariable X die Lebensdauer in Tagen an. a. Berechne den Median sowie das untere und obere Quartil. b. Zeichne die Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen von f ein, die zwischen dem unte- ren und dem oberen Quartil liegt. Interpretiere diese Fläche. 329 Die Lebensdauer einer Festplatte wird durch die Dichtefunktion f mit f(x) = 0,098·e ‒0,098x beschrieben. Dabei gibt die zugehörige Zufallsvariable X die Lebensdauer in Jahren an. a. Berechne den Erwartungswert für die Lebensdauer dieser Festplatte. b. Berechne den Median. Liegt dieser über oder unter dem Erwartungswert? c. Berechne den Zeitpunkt, ab dem 90% aller solcher Festplatten kaputt sind. d. Berechne den Zeitpunkt, ab dem nur noch 5% aller Festplatten funktionstüchtig sind. Varianz Wie beim Erwartungswert kann die Definition der Varianz einer Zufallsvariablen vom diskreten auf den stetigen Fall verallgemeinert werden. Ist X eine stetige Zufallsvariable mit Wertebereich M X = [c; d] und Dichtefunktion f, so heißt V(X) = E((X – E(X)) 2 ) = : c d (x – E(X)) 2 f(x) dx die Varianz und σ = 9 ___ V(X) die Standardabweichung von X. Eine Vereinfachung der Berechnung ergibt sich meist über den Verschiebungssatz : V(X) = E(X 2 ) – E(X) 2 = : c d x 2 f(x) dx – 2 : c d x f(x) dx 3 2 Eine anschauliche Interpretation erhält man immer über die Standardabweichung. Sie gibt den mittleren Abstand der Beobachtungswerte von ihrem Erwartungswert an. Alternativ kann man die „Streuung“ auch durch den Quartilsabstand x 0,75 – x 0,25 beschreiben. Er gibt die Länge des mittleren Bereichs an, in dem die Beobachtungswerte mit 50%iger Wahrscheinlichkeit liegen werden. mcd u6ch6e B Median berechnen B A, B, C A, B, C Varianz und Standardab- weichung einer stetigen Zufalls- variablen Verschiebungs- satz Quartilsabstand Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv