Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

78 Zufallsvariable und ihre Verteilungen Fraktile Neben dem Erwartungswert gibt es noch andere wichtige Kenngrößen von stetigen Verteilun- gen, die über die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Anteile definiert sind. Sei etwa X das Gewicht von Hühnereiern. Möchte man die 10% schwersten in die höchste Gewichtsklasse einordnen, so benötigt man eine Zahl x, für die gilt P(X ª x) = 0,9. Diese Zahl bezeichnet man als 0,9-Fraktil oder auch 0,9-Quantil der Verteilung von X. Wenn X eine stetige Zufallsvariable und p * [0; 1] ist, dann heißt x p das p-Fraktil (oder p-Quantil oder p-Perzentil ) der Verteilung von X, wenn P(X ª x p ) = p ist. Die Bedeutung von x p ist an folgender Skizze gut zu erkennen: Fraktile können auch einfach über die Verteilungsfunktion definiert werden, denn es gilt: P(X ª x p ) = F(x p ) = p Drei Fraktile haben einen besonderen Namen. Wir kennen sie schon aus der beschreibenden Statistik: x 0,25 und x 0,75 heißen unteres bzw. oberes Quartil . x 0,5 heißt Median der Verteilung. Er teilt den Wertebereich von X in zwei Teile mit gleicher Wahr- scheinlichkeit 0,5. 324 Die Zufallsvariable X hat den Wertebereich M x = [0; 2] und die Dichtefunktion f mit f(x) = x _ 2 . Berechne die Quartile und den Median. Es ist F(x p ) = : 0 x p x _ 2 dx = x 2 _ 4 1 0 x p = x p 2 _ 4 . Wir suchen somit x p * [0; 1] so, dass x p 2 _ 4 = p ist und erhalten x p = 2· 9 _ p . Die Quartile sind also x 0,25 = 2· 9 ___ 0,25 = 1 und x 0,75 = 2· 9 ___ 0,75 = 9 _ 3 , der Median ist x 0,5 = 2· 9 __ 0,5 = 9 _ 2 . 325 Berechne den Median und die Quartile der Zufallsvariablen X. a. M X = [0; 20], f(x) = 1 _ 20 c. M X = [0; 2], f(x) = 1 _ 10 (3x 2 + x) b. M X = [0; 10], f(x) = x _ 50 d. M X = [0; 4), f(x) = ‒ 3 _ 32 (x 2 – 4x) Fraktil x f(x) x p p unteres und oberes Quartil Median ggb/mcd 8ze4cw Quartile und Median berechnen B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv