Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

77 2.4 Stetige Zufallsvariable Erwartungswert Wir haben den Begriff des Erwartungswertes bereits bei diskreten Zufallsvariablen durch die Definition E(X) = ; i = 1 n x i P(X = x i ) eingeführt. Für eine stetige Zufallsvariable müssen wir die Summe durch ein Integral und die Wahrscheinlichkeitsfunktion durch die Dichtefunktion ersetzen. Ist X eine stetige Zufallsvariable mit Wertebereich M X = [c; d] und Dichtefunktion f, dann heißt E(X) = : c d x·f(x) dx der Erwartungswert von X. Die Interpretation des Erwartungswertes ist die gleiche wie im diskreten Fall: Beobachtet man fortgesetzt Werte der Zufallsvariablen X, so wird der Mittelwert der Beobachtungen gegen den Erwartungswert konvergieren. 317 X ist eine stetige Zufallsvariable mit dem Wertebereich M x = [0; 2] und der Dichtefunktion f mit f(x) = x _ 2 . Berechne den Erwartungswert von X. E(X) = : 0 2 x· x _ 2 dx = : 0 2 x 2 _ 2 dx = x 3 _ 6 1 0 2 = 4 _ 3 318 Von einer stetig verteilten Zufallsvariablen X sind der Definitionsbereich M X und die Dichte- funktion f bekannt. Berechne den Erwartungswert E(X). a. M X = [0; 20], f(x) = 1 _ 20 b. M X = [0; 5], f(x) = 1 _ 5 c. M X =[0; 40], f(x) = 1 _ 40 319 Ermittle für die stetig verteilte Zufallsvariable X bei bekanntem Definitionsbereich M X und Dichtefunktion f den Erwartungswert E(X). a. M X = [0; 2], f(x) = x _ 2 b. M X = [0; 10], f(x) = x _ 50 c. M X = [0; 2], f(x) = 1 _ 10 (3x² +x) 320 Die Lebensdauer X einer Glühbirne in Jahren ist eine stetige Zufallsvariable mit dem Wertebe- reich M X = R + und der Dichtefunktion f mit f(x) = e ‒x . Berechne den Erwartungswert für die Lebensdauer der Glühbirne. E(X) = : 0 • x·e ‒x dx Durch Einsatz eines geeigneten Rechners oder durch partielle Integration erhalten wir E(X) = 1. Der Erwartungswert für die Lebensdauer einer Glühbirne beträgt also ein Jahr. 321 Von einer stetig verteilten Zufallsvariablen X sind der Definitionsbereich M X und die Dichtefunkti- on f bekannt. Berechne den Erwartungswert E(X). a. M X = R + , f(x) = 2e ‒2x b. M X = R + , f(x) = 5e ‒5x c. M X = R + , f(x) = 1 _ 4 e ‒0,25x 322 Die Lebensdauer einer LED-Leuchte in Stunden kann durch die Zufallsvariable X mit der Dichte- funktion f mit f(x) = 1 _ 50000 e ‒0,00002x beschrieben werden. Ermittle den Erwartungswert für die Lebensdauer dieser LED-Leuchte. 323 Die Lebensdauer eines Akkus wird durch die Dichtefunktion f mit f(x) = 1 _ 500 ·e ‒ x _ 500 beschrieben. Dabei gibt die zugehörige Zufallsvariable X die Lebensdauer in Tagen an. Berechne den Erwar- tungswert für die Lebensdauer dieses Akkus. Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariablen ggb/mcd/tns a6sb9j B den Erwartungswert einer stetigen Zufalls- variablen berechnen B B mcd/tns 87x9p9 den Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariablen berechnen A, B B B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv