Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

76 Zufallsvariable und ihre Verteilungen Verteilungen mit unbeschränktem Wertebereich Nachdem der Wertebereich von X auch unbeschränkt sein kann, können bei der Wahrscheinlich- keitsberechnung auch Integrale der Form : a • f(x) dx auftreten. Diese sogenannten uneigentlichen Integrale sind folgendermaßen definiert: : a • f(x) dx = lim c ¥• : a c f(x) dx : ‒ • b f(x) dx = lim c ¥ ‒ • : c b f(x) dx 312 Die Lebensdauer einer Glühbirne in Jahren wird durch eine stetige Zufallsvariable X mit dem Wertebereich M X = R + und der Dichtefunktion f mit f(x) = e ‒x beschrieben. Berechne die Wahr- scheinlichkeit, dass die Lebensdauer der Glühbirne a. zwischen 1 und 2 Jahren, b. über 3 Jahren liegt. a. P(1 < X < 2) = : 1 2 e ‒x dx = ‒ e ‒x 1 1 2 = ‒ e ‒2 + e ‒1 ≈ 0,233 Die Wahrscheinlichkeit, dass die Lebensdauer eine Glühbirne zwischen 1 und 2 Jahre liegt, beträgt 23,3%. b. Wir können die Wahrscheinlichkeit P(X > 3) auf zwei Arten berechnen: 1. direkte Berechnung: P(X > 3) = : 3 • e ‒x dx = ‒ e ‒x 1 3 • = ‒ e ‒ • – (‒ e ‒3 ) = 0 + 0,050 = 0,050 2. Berechnung über das Gegenereignis: P(X > 3) = 1 – P(X ª 3) = 1 – : 0 3 e ‒x dx = 1 – 2 ‒ e ‒x 1 0 3 3 = 1 – (‒ e ‒3 + e 0 ) = 1 – (‒ 0,050 + 1) = = 0,050 Die Wahrscheinlichkeit, dass die Lebensdauer dieser Glühbirne über 3 Jahre liegt, beträgt 5%. 313 Die Lebensdauer eine LED-Lampe kann durch eine Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion f mit f(x) = 1 _ 10 ·e ‒ x _ 10 beschrieben werden. Dabei gibt X die Funktionsdauer in 1 000 Stunden an. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die LED-Lampe a. weniger als 5000 Stunden, b. mehr als 20000 Stunden funktionstüchtig ist. 314 Es ist ein Wertebereich M X und eine Funktion F gegeben. Kann es sich bei F um die Verteilungs- funktion einer Zufallsvariablen X handeln? Begründe deine Entscheidung. Falls ja, berechne die zugehörige Dichtefunktion f. a. M X = [0; • ), F(x) = e ‒x b. M X = [0; • ), F(x) = 1 – e ‒2x c. M X = [0; • ), F(x) = 1 – 1 _ x + 1 315 Bestimme mithilfe der Dichtefunktion die gesuchte Wahrscheinlichkeit. a. f(x) = 2·e ‒2x auf R + P(0 < X ª 3) = b. f(x) = 2x·e ‒x 2 auf R + P(0 < X ª 1) = 316 Es ist ein Wertebereich M X und eine Funktion f gegeben. Rechne nach, ob es sich bei f um eine Dichtefunktion der Zufallsvariablen X handeln kann. Handelt es sich bei f um eine Dichtefunkti- on, so gib die zugehörige Verteilungsfunktion F an. Sollte f keine Dichtefunktion sein, begründe deine Entscheidung. a. M X = [0; • ), f(x) = 2·e ‒2x b. M X = [0; • ), f(x) = e ‒0,1x uneigentliches Integral A, B ggb/tns s8u2pf Wahrschein- lichkeiten berechnen A, B A, D B B, D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv