Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

75 2.4 Stetige Zufallsvariable 303 Die Wertemenge der Zufallsvariablen X ist M X = [0; 1], ihre Verteilungsfunktion ist F mit F(x) = x 2 . a. Zeige, dass F auf M X monoton wachsend ist, und berechne F(0) und F(1). b. Ermittle die Dichtefunktion f. c. Berechne die Wahrscheinlichkeit P(0,2 < X < 0,7) mithilfe der Verteilungsfunktion F. d. Ermittle die Wahrscheinlichkeit P(X < 0,15) mithilfe der Dichtefunktion f. a. Da für alle x * M X = [0; 1] F‘(x) = 2x º 0 ist, ist F auf M X monoton wachsend. Es ist F(0) = 0 2 = 0 und F(1) = 1 2 = 1. b. Die Dichtefunktion von X ist f mit f(x) = F‘(x) = 2x c. P(0,2 < X < 0,7) = F (0,7) – F(0,2) = 0,7 2 – 0,2 2 = 0,45 d. P(X < 0,15) = : 0 0,15 2x dx = x 2 1 0 0,15 = 0,0225 304 Es ist ein Wertebereich M X und eine Funktion F gegeben. Kann es sich bei F um die Verteilungs- funktion einer Zufallsvariablen X handeln? Begründe deine Entscheidung. Falls ja, berechne die zugehörige Dichtefunktion f. a. M x = [0; 10], F(x) = x _ 10 b. M X = [0; 4], F(x) = 1 _ 24 (x 3 – 3x 2 + 2x) 305 Gegeben ist eine Verteilungsfunktion F. Bestimme die zugehörige Dichtefunktion und fertige eine Skizze der beiden Funktionsgraphen an. a. F(x) = x _ 3 auf [0; 3] b. F(x) = x 2 auf [0; 1] c. F(x) = 1 _ 8 x 3 auf [0; 2] 306 Gib an, ob es sich bei dem Graphen um den Graphen einer Dichte-, einer Verteilungsfunktion oder keines von beiden handelt. Begründe. a. b. c. d. 307 Finde zur Dichtefunktion f(x) = 1 _ 3 auf [0; 3] die passende Verteilungsfunktion. Zeichne die Gra- phen der beiden Funktionen in ein Diagramm. 308 Es ist ein Wertebereich M X und eine Funktion f gegeben. Rechne nach, ob es sich bei f um eine Dichtefunktion der Zufallsvariablen X handeln kann. Handelt es sich bei f um eine Dichtefunkti- on, so gib die zugehörige Verteilungsfunktion F an. Sollte f keine Dichtefunktion sein, begründe deine Entscheidung. a. M X = [0; 5], f(x) = 1 _ 5 b. M X = [0; 10], f(x) = 3x 2 _ 1000 c. M X = [0; 4], f(x) = 1 – x _ 4 309 Berechne für die Verteilungsfunktion F mit F(x) = 1 _ 2 x auf [0; 2] die gegebene Wahrscheinlichkeit. a. P(X < 1) = b. P(X º 0,5) = c. P(1 < X < 2) = d. P(0,5 < X < 1,2) = 310 Bestimme für die Dichtefunktion f mit f(x) = 1 _ 5 auf [0; 5] die gegebene Wahrscheinlichkeit. a. P(X < 2) = b. P(X º 4) = c. P(1 < X < 3) = d. P(1,7 ª X < 0,5) = 311 Ermittle für die Dichtefunktion f mit f(x) = 1 _ 4 x³ auf [0; 2] die gegebene Wahrscheinlichkeit. a. P(X ª 1) = b. P 2 X > 3 _ 2 3 = c. P(1 ª X < 2) = d. P 2 1 _ 4 < X ª 1 _ 2 3 = ggb/mcd 2w2xj3 die Dichte- funktion einer Zufallsvariablen bestimmen A, B, D A, D A C x y 0 2 1 -1 1 2 x y 0 2 1 -1 1 2 x y 0 1 -1 - 2 1 2 x y 0 2 1 -1 1 2 A B, D B B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv