Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

74 Zufallsvariable und ihre Verteilungen Da die Steigung des Funktionsgraphen durch die erste Ableitung der Verteilungsfunktion bestimmt wird, kommt auch dieser Ableitung eine Bedeutung in der Wahrscheinlichkeitsrech- nung zu. Da sie angibt, wie dicht die einzelnen Ausgänge in den entsprechenden Intervallen lie- gen, nennt man sie auch Dichtefunktion f der Zufallsvariablen. In der Zeitleiste wurden die Ankunftszeiten markiert. Man erkennt deutlich, dass in den Interval- len, in denen viele Ankünfte eingetreten sind, die Markierungen dichter beieinander liegen. Der Graph der Dichtefunktion zeigt also anschaulich die Verteilung der Wahrscheinlichkeit auf dem Wertebereich M X . Diese Information entspricht dem Diagramm der Punktwahrscheinlichkeiten diskreter Zufallsvariablen. Wenn die Verteilungsfunktion F der Zufallsvariablen X differenzierbar ist, so nennt man die Ablei- tung der Verteilungsfunktion die Dichtefunktion der Zufallsvariablen X. Anstelle von F’ bezeich- net man die Dichtefunktion gewöhnlich mit f. Da die Verteilungsfunktion F im Wertebereich M X = [c; d] der Zufallsvariablen X von F(c) = 0 auf F(d) = 1 ansteigt und F eine Stammfunktion der Dichtefunktion f ist, muss gelten: : c d f(x) dx = F(d) – F(c) = 1 – 0 = 1. Ist X eine stetige Zufallsvariable mit der Wertemenge M X , F die Verteilungsfunktion von X, F diffe- renzierbar und f die zugehörige Dichtefunktion, dann gilt:  Die Fläche der Menge zwischen M X und dem Graphen von f ist 1.  Für zwei Zahlen a < b mit a, b * M X ist P(a ª X ª b) = : a b f(x) dx = F(b) – F(a) .  Da F stets monoton wachsend ist, ist für alle x * R f(x) º 0. Beachte, dass bei stetigen Zufallsvariablen stets gilt: P(X = a) = 0, da : a a f(x) dx = 0 ist. Einzelne Werte haben immer Wahrscheinlichkeit 0, da es wie früher bereits erwähnt „zu viele“ von ihnen im Wertebereich gibt. Eine Konsequenz dieser Tatsache ist, dass es bei stetigen Vertei- lungen keinen Unterschied macht, ob man offene oder abgeschlossene Intervalle betrachtet. Es gilt immer: P(a ª X ª b) = P(a < X < b) = P(a ª X < b) = P(a < X ª b). Ist X eine Zufallsvariable mit Wertebereich M X = [c; d] und der Dichtefunktion f, so kann man ihre Verteilungsfunktion F durch F(x) = : c x f(t) dt berechnen, da F(x) ja die Wahrscheinlichkeit von X ª x angibt. Ankunftszeit 11:58 12:00 12:04 12:06 12:08 12:02 geringe Dichte große Dichte 11:58 12:00 12:04 12:06 12:08 12:02 Dichtefunktion f Dichtefunktion Eigenschaften der Dichtefunktion Berechnung der Verteilungs- funktion Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv