Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

73 2.4 Stetige Zufallsvariable gleiche relative Häufigkeit 1 _ 365 . Nachdem es „zu viele“ mögliche Werte von X gibt, hat es keinen Sinn, die Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Einzelwerte einzuführen. Stattdessen werden wir über bestimmte Wertemengen vorgehen. Sehen wir uns das an folgendem Beispiel an. Der Einfachheit wegen haben wir nur 10 Ankunftszeiten des Zuges ermittelt: 12:03:45 12:01:13 12:04:33 12:02:03 12:00:37 12:07:11 12:02:25 12:03:01 12:01:41 11:59:32 Wir konstruieren nun eine sogenannte Verteilungsfunktion F der Zufallsvariablen X, die jeder Uhrzeit die relative Anzahl der Züge zuordnet, die bis zu diesem Zeitpunkt angekommen sind. Dazu ist es zweckmäßig, die Zeiten zunächst aufsteigend zu ordnen: Mithilfe dieser Verteilungsfunktion können wir nun abschätzen, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Zug vor einem gewissen Zeitpunkt ankommen wird. Beispielsweise ist F(12:03:00) = 0,6. Daher wird der Zug mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,6 vor 12:03:00 Uhr ankommen. Wir neh- men nun an, dass sich diese Funktion, die ja nur auf den 10 beobachteten Werten definiert ist, bei wachsender Zahl von Beobachtungen einer stetigen Funktion annähert, die für jeden mögli- chen Wert x von X die Wahrscheinlichkeit P(X ª x) angibt. Eine Zufallsvariable X heißt stetig , wenn ihr Wertebereich M X ein Intervall, eine Halbgerade oder die Menge aller reellen Zahlen ist. Ist X eine stetige Zufallsvariable mit der Wertemenge M X , so nennt man die Funktion F: M X ¥ [0; 1] mit F(x) = P(X ª x) Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X. Eine solche Verteilungsfunktion ist stets monoton wachsend und nimmt nur Werte von 0 bis 1 an. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert der Zufallsvariablen im Intervall [a; b] liegt, ist dann P(a ª X ª b) = F(b) – F(a) . Der Vorteil einer Verteilungsfunktion liegt darin, dass man, sobald die Verteilungsfunktion bekannt ist, die Wahrscheinlichkeiten ganz leicht berechnen kann. Der Nachteil liegt darin, dass man nicht unmittelbar erkennen kann, in welchen Intervallen die Ergebnisse des Zufallsexperi- mentes häufiger liegen und in welchen seltener. Das erkennt man erst an der Steigung des Gra- phen der Verteilungsfunktion. Liegen in einem Intervall viele Ausgänge des Zufallsexperimentes, so steigt der Graph an dieser Stelle stärker an als in Intervallen, in denen wenige Ausgänge lie- gen. In unserem Beispiel mit den Ankunftszeiten des Zuges, liegen im Intervall [12:01; 12:02] drei Ankunftszeiten, daher steigt der Graph in diesem Intervall steiler an, als im Intervall [12:04; 12:05], in dem nur eine Ankunftszeit liegt. 12:00 12:04 12:06 12:08 12:02 0 0,4 0,2 0,6 0,8 1 Verteilung der Ankunftszeit des Zuges Ankunftszeit relative Anzahl der Züge Ankunftszeit Anzahl der Züge absolut Anzahl der Züge relativ 11:59:32 1 0,1 12:00:37 2 0,2 12:01:13 3 0,3 12:01:41 4 0,4 12:02:03 5 0,5 12:02:25 6 0,6 12:03:01 7 0,7 12:03:45 8 0,8 12:04:33 9 0,9 12:07:11 10 1 stetige Zufalls- variable Verteilungs- funktion Nur zu Prüfzwecken – Eigent m des Verlags öbv