Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

72 2.4 Stetige Zufallsvariable Ich lerne Verteilungs- und Dichtefunktionen kennen und mit ihrer Hilfe Wahrscheinlichkeiten von stetigen Zufallsvariablen zu berechnen. Ich lerne den Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariablen zu berechnen. Ich lerne Fraktile einer Verteilung zu berechnen. Ich lerne die Varianz einer stetigen Zufallsvariablen zu ermitteln. Verteilungsfunktion und Dichtefunktion Bislang haben wir diskrete Zufallsvariable und deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen bespro- chen, jetzt wollen wir uns den stetigen Zufallsvariablen widmen. Betrachten wir dazu zwei Bei- spiele: Diskrete Zufallsvariable können nur eine endliche Anzahl von Werten annehmen. Meistens han- delt es sich dabei um eine Teilmenge der natürlichen Zahlen. Würfelt man mit zwei Würfeln und interessiert sich für die Zufallsvariable X, die die gewürfelte Augensumme angibt, so lautet deren Wertemenge M X = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} und die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist durch die Punktwahrscheinlichkeiten p i mit p i = P(X = i) gegeben. Diese Verteilung kann man als Tabelle oder in Form eines Diagramms angeben: Beachte, dass die Wahrscheinlichkeiten nur für Werte aus der Wertemenge M X definiert sind. Es ist ja nicht möglich, beispielsweise die Augensumme 3,972 zu würfeln. Im Gegensatz dazu haben stetige Zufallsvariable ein Intervall von reellen Zahlen oder sogar die Menge aller reellen Zahlen als Wertemenge. Auf solche stetigen Zufallsvariablen stößt man bei vielen physikalischen Messgrößen wie Länge, Masse, Zeit etc. Interessiert man sich etwa für die tatsächliche Ankunftszeit X eines Zuges, der fahrplanmäßig um 12:00 Uhr ankommen soll, so könnte man über einen gewissen Zeitraum die Ankunftszeiten beobachten und deren relative Häufigkeiten bestimmen. Jetzt hängt es von der Messgenauigkeit ab, ob man eine vernünftige Verteilung erhält. Denn: Je genauer man misst, desto hoffnungsloser wird es, eine brauchbare Wahrscheinlichkeit anzuge- ben. Misst man etwa ein Jahr lang täglich die Ankunftszeit des Zuges auf die Sekunde genau, so wird voraussichtlich jede der 365 Ankunftszeiten nur einmal auftreten. Sie haben damit alle die ggb w53hz6 i p i 1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 0,05 0,1 0,15 0,2 P(X = x) x P(X = x) 2 1 _ 36 3 2 _ 36 4 3 _ 36 5 4 _ 36 6 5 _ 36 7 6 _ 36 8 5 _ 36 9 4 _ 36 10 3 _ 36 11 2 _ 36 12 1 _ 36 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv