Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

71 2.3 Binomialverteilung 298 Gegeben ist eine binomialverteilte Zufallsvariable X mit den Parametern n = 3 und p = 0,2. a. Berechne die Wahrscheinlichkeiten P(X = k) für k = 0, 1, …, 3. b. Ermittle die Wahrscheinlichkeiten P(X ª k) für k = 0, 1…, 3. c. Die Funktion F: [0; 3] ¥ R ordnet jeder Zahl z die Wahrscheinlichkeit P(X ª z) zu. Stelle den Graphen der Funktion F graphisch dar. a. P(X = 0) = 2 3 0 3 ·0,2 0 ·(1 – 0,2) 3 = 0,512 P(X = 2) = 2 3 0 3 ·0,2 2 ·(1 – 0,2) 1 = 0,096 P(X = 1) = 2 3 1 3 ·0,2 1 ·(1 – 0,2) 2 = 0,384 P(X = 3) = 2 3 3 3 ·0,2 3 ·(1 – 0,2) 0 = 0,008 b. P(X ª 0) = 0,512 P(X ª 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,896 P(X ª 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0,992 P(X ª 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 1 c. Beachte, dass der Graph der Funktion F die Form einer Treppe hat, wobei die Höhen der Stufen durch die Wahrscheinlichkeiten bestimmt werden. Diese Funktion spielt beim Rechnen mit stetigen Zufallsvariablen eine große Rolle. Wir werden sie daher im nächsten Kapitel einführen und als Ver- teilungsfunktion bezeichnen. 299 Gegeben ist eine binomialverteilte Zufallsvariable X mit den Parametern n = 20 und p = 0,5. a. Erstelle eine Tabelle, die für k = 0, … , 20 jeweils die Wahrscheinlichkeit P(X = k) angibt. b. Erstelle eine Tabelle, die für k = 0, … , 20 jeweils die Wahrscheinlichkeit P(X ª k) angibt. c. Die Funktion F: [0; 20] ¥ R ordnet jeder Zahl x die Wahrscheinlichkeit P(X ª x) zu. Stelle den Graphen der Funktion F graphisch dar. WAS HABE ICH IN DIESEM ABSCHNITT GELERNT? Ich kann argumentieren, ob eine gegebene Zufallsvariable binomialverteilt ist. 300 Entscheide, welche der Zufallsvariablen X binomialverteilt sind. Begründe. A Man würfelt mit 2 Würfeln gleichzeitig. X gibt die Augensumme an. B Aus einer Schulklasse mit 13 Buben und 12 Mädchen werden 5 Kinder zufällig ausgewählt. X gibt an, wie viele Mädchen ausgewählt wurden. C 10% aller Menschen haben blaue Augen. Es werden zufällig 20 Menschen ausgewählt. X gibt die Anzahl der Blauäugigen unter den gezogenen Personen an. Ich kann mit der Binomialverteilung Wahrscheinlichkeiten berechnen. 301 Bei einem Test kann zu jeder Frage aus drei Antworten gewählt werden. Der Test besteht aus 12 Fragen und jemand wählt die Antworten zufällig aus. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass … a. … alle Fragen richtig beantwortet werden. b. … mindestens die Hälfte der Fragen richtig beantwortet wird. c. … alle Fragen falsch beantwortet werden. Ich kann den Erwartungswert und die Standardabweichung einer binomialverteilten Zufalls- variablen berechnen. 302 Es werden 60 Würfel gleichzeitig geworfen. Berechne den Erwartungswert und die Standardab- weichung für die Anzahl der dabei geworfenen „Sechser“. xls xq7b5i A, B Wahrscheinlich- keiten einer binomial- verteilten Zufallsvariablen berechnen 1 2 0 3 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 z F(z) A, B C, D A, B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv