Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

70 Zufallsvariable und ihre Verteilungen 290 Ein Anbieter von Glücksspielen möchte, dass man beim Kauf von 6 Losen mit einer Wahrschein- lichkeit von mindestens 90% mehr als einen Gewinn macht. Berechne, wie viel Prozent aller Lose gewinnen müssen, damit diese Vorgabe erreicht werden kann. Der gesucht Prozentsatz entspricht der (noch unbekannten) Wahrscheinlichkeit p, dass ein zufäl- lig gewähltes Los gewinnt. Die Zufallsvariable X gibt an, wie viele der 6 Lose gewinnen, und ist (wenn die Anzahl der Lose sehr groß ist) binomialverteilt mit n = 6 und p. Es muss gelten: P(X > 1) º 0,9 bzw. P(x ª 1) ª 0,1. Der Einfachheit wegen, lösen wir anstelle der Ungleichung die Gleichung P(x ª 1) = 0,1. Durch Ein- setzen erhalten wir 2 6 0 3 ·p 0 ·(1 – p) 6 + 2 6 1 3 ·p 1 ·(1 – p) 5 = 0,1. Mithilfe eines CAS multiplizieren wir aus und erhalten ‒ 5p 6 + 24p 5 – 45p 4 + 40p 3 – 15p 2 + 1 = 0,1. Mithilfe des CAS lösen wir diese Gleichung näherungsweise und erhalten p = 0,5103. Es müssen mindestens 51,03% aller Lose gewinnen, damit man beim Kauf von 6 Losen mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% mehr als einen Gewinn macht. 291 Bei einer Wohltätigkeitsveranstaltung wird eine Tombola organisiert. Man möchte, dass jemand, der drei Lose kauft, mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% mindestens ein Gewinnlos erhält. Berechne, wie viel Prozent der Lose gewinnen müssen. 292 Ein Produzent von Rubbellosen möchte, dass jemand, der vier Lose kauft, mit einer Wahrschein- lichkeit von 95% mindestens ein Gewinnlos in Händen hält. Ermittle, wie viel Prozent der Lose unter diesen Voraussetzungen insgesamt gewinnen müssen. 293 Bei einem Single-Choice-Test werden zu jeder Frage 3 mögliche Antworten angeboten. Der Test ist bestanden, wenn höchstens eine Frage falsch beantwortet wird. a. Berechne, wie viele Fragen man stellen muss, damit die Wahrscheinlichkeit mit reinem Raten durchzukommen höchstens 0,1 ist. b. Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt dann eine Kandidatin bzw. ein Kandidat durch, der jede Frage mit Wahrscheinlichkeit 0,8 richtig beantwortet? Berechne. 294 Ein Kommunikationssystem besteht aus n Komponenten, wobei jede Komponente unabhängig von den anderen mit Wahrscheinlichkeit p funktioniert. Das Gesamtsystem funktioniert nur, wenn mindestens die Hälfte der Komponenten funktioniert. Begründe, für welche Werte von p ein 5-Komponentensystem einem 3-Komponentensystem vorzuziehen ist. 295 Die öffentlichen Verkehrsbetriebe überlegen, ob es sich auszahlt, in einer bestimmten Autobusli- nie regelmäßig die Fahrgäste auf einen gültigen Fahrschein hin zu kontrollieren. Im Durchschnitt befinden sich 20 Personen in diesem Bus. Berechne, wie viel Prozent aller Fahrgäste insgesamt schwarzfahren müssten, damit man bei einer zufälligen Kontrolle von 20 Personen mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% mindestens einen Schwarzfahrer erwischt. 296 Die Firma Lug&Trug stellt Glücksspielautomaten her. Aus Erfahrung weiß man, dass die meisten Kunden, die innerhalb von 10 Runden nicht mehr als einmal gewonnen haben, nicht mehr wei- terspielen wollen. Berechne, wie bei diesen Automaten die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn einzustellen ist, damit 85% aller Kunden innerhalb von 10 Runden mehr als einmal gewinnen. 297 Ein Basketballspieler behauptet, dass er mit Wahrscheinlichkeit 0,9 von 5 Freiwürfen mindestens 4 trifft. Berechne seine Trefferwahrscheinlichkeit, wenn diese Aussage stimmt. ggb/mcd/tns xi5p9v Wahrscheinlich- keit einer bino- mialverteilten Zufallsvariablen berechnen A, B A, B A, B A, B A, B, D A, B A, B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv