Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

69 2.3 Binomialverteilung 280 Nach neuesten Statistiken fahren am Samstagabend 2% der Autofahrerinnen und Autofahrer alkoholisiert. Ermittle, wie viele Autofahrerinnen und Autofahrer die Polizei kontrollieren muss, damit sie mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% mindestens eine alkoholisierte Person erwischt. 281 In einem Vergnügungspark steht ein Glücksrad mit insgesamt 20 gleich großen Sektoren. Drei der Sektoren versprechen einen Gewinn. Berechne, wie oft man das Glücksrad drehen muss, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% mindestens einmal gewinnt. 282 Ein Süßwarenhersteller wirbt damit, in jeder siebten Packung eine besondere Sammelfigur zu verstecken. Berechne, wie viele Packungen man kaufen muss, damit man mit einer Wahrschein- lichkeit von 99% eine der besonderen Figuren erhält. 283 Laut einer Untersuchung aus den 80er-Jahren ist nur eines von 60 Kleeblättern ein vierblättriges Kleeblatt. Bestimme, wie viele Kleeblätter man anschauen muss, damit man mit einer Wahr- scheinlichkeit von 99% ein vierblättriges Kleeblatt findet. 284 Ein Hotelier weiß aus Erfahrung, dass 3% aller reservierten Zimmer letztendlich doch nicht bezo- gen werden. Für seine 100 Zimmer nimmt er daher 103 Reservierungen entgegen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass es dabei zu einem Problem durch Überbelegung kommt. Mit X bezeichnen wir die Zufallsvariable, die zählt, wie viele der 103 reservierten Zimmer letzt- endlich wirklich benötigt werden. Da für jedes Zimmer unabhängig von den anderen die Wahr- scheinlichkeit einer Stornierung 0,03 ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass das Zimmer benö- tigt wird, 0,97. Somit ist X binomialverteilt mit den Parametern n = 103 und p = 0,97. Zu Problemen kommt es, wenn X > 100 ist. Das ist gleichbedeutend mit X = 101 oder X = 102 oder X = 103. Wir berechnen daher P(X > 100) = P(X = 101) + P(X = 102) + P(X = 103) = = 2 103 101 3 ·0,97 101 ·0,03 2 + 2 103 102 3 ·0,97 102 ·0,03 1 + 2 103 103 3 ·0,97 103 ·0,03 0 = 0,3997. Die Wahrscheinlichkeit, dass es zu einer Überbelegung kommt, liegt bei fast 40%. 285 Der Besitzer eines Restaurants weiß aus Erfahrung, dass ca. 10% der vorreservierten Tische letzt- endlich doch nicht benutzt werden. Daher plant er, in Zukunft 22 Tischreservierungen entgegen- zunehmen, obwohl er nur 20 Tische zur Verfügung hat. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass er einen Gast abweisen muss, obwohl dieser einen Tisch reserviert hat. 286 Eine Fluglinie weiß aus Erfahrung, dass durchschnittlich 7% der gebuchten Passagiere nicht zum Abflugtermin erscheinen und daher ihren Sitzplatz nicht beanspruchen. Es werden daher anstel- le der 300 zur Verfügung stehenden Plätze 315 Plätze vergeben. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass es dadurch zu einem Problem durch Überbuchung kommt. 287 Peter und Paul werfen je 10 Freiwürfe mit einem Basketball. Peter trifft jeden Wurf mit Wahrschein- lichkeit 0,8. Paul trifft mit Wahrscheinlichkeit 0,85. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass … a. … Peter gewinnt. b. … Paul gewinnt. c. … keiner von beiden gewinnt. 288 Einer großen Lieferung wird eine Stichprobe vom Umfang n = 40 entnommen. Enthält die Stich- probe mehr als zwei unbrauchbare Teile, so wird die Lieferung zurückgewiesen. Bestimme die Annahmewahrscheinlichkeit A(p) der Lieferung, wenn sie a. 1%, b. 2%, c. 5%, d. 10% unbrauchbare Teile enthält. 289 In jeder 10. Stickerpackung bestimmter Sammelsticker ist ein Glitzersticker. Ermittle, wie viele Packungen man braucht, damit man mit 95% Wahrscheinlichkeit mindestens einen Glitzersticker erhält. A, B A, B A, B A, B A, B Wahrschein- lichkeit einer Überbelegung berechnen ggb/xls/mcd/tns 8bm5je A, B A, B A, B A, B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigent m des Verlags öbv