Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

68 Zufallsvariable und ihre Verteilungen 275 Ein Unternehmen fertigt ein Produkt und hat dabei eine Fehlerquote von 1%. Ein Kunde wählt zufällig drei Produkte aus. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass … a. … alle drei in Ordnung sind. b. … mindestens zwei in Ordnung sind. c. … alle drei fehlerhaft sind. 276 Frau Glück gewinnt beim Kauf eines Briefloses in 3 von 5 Fällen. Berechne die Wahrscheinlich- keit, dass Frau Glück beim Kauf von 10 Losen … a. … 10-mal gewinnt. b. … mindestens 5-mal gewinnt. c. … nicht gewinnt. 277 Paul hat seinen ersten Multiple-Choice-Test an der Uni gewaltig unterschätzt. Es gibt 10 Fragen mit je 4 Antwortmöglichkeiten, von denen jeweils genau eine korrekt ist. Allerdings kommen ihm die Antworten alle gleich plausibel vor. Da er offensichtlich nicht intensiv genug gelernt hat, be- schließt er, die Antworten rein zufällig anzukreuzen. Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass Paul mit dieser Methode … a. … keine einzige der Aufgaben richtig löst. b. … mindestens die Hälfte aller Aufgaben richtig löst und somit die Prüfung besteht. c. … mindestens 80% der Aufgaben richtig löst und somit seine Chance auf ein Stipendium aufrechterhält. 278 Dominik ist im Spielcasino und hat beobachtet, dass am Roulettetisch bereits seit 30 Runden nicht die Zahl 13 gekommen ist. a. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl innerhalb der nächsten 7 Runden mindes- tens einmal kommt. b. Ändert sich diese Wahrscheinlichkeit, wenn Dominik weiter wartet und die Zahl 13 bereits seit 40 Runden nicht gekommen ist? Begründe. 279 Die Chance mit einem Tipp beim österreichischen Lotto „6 aus 45“ einen Gewinn zu erzielen, beträgt ca. 4,6%. Berechne, wie viele (unabhängige) Tipps man mindestens abgeben muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens einen Gewinntipp zu haben. Mit X bezeichnen wir die Zufallsvariable, die die Anzahl der Gewinne unter n Tipps angibt. X ist binomialverteilt mit den Parametern n und p. Die Anzahl n ist nun nicht bekannt, wir wissen aber dass p = 0,046 ist. Es soll P(X º 1) º 0,9 sein. Mit der Gegenwahrscheinlichkeit schreiben wir das als P(X º 1) = 1 – P(X = 0) º 0,9 und formen um zu P(X = 0) ª 0,1. Wir müssen also die folgende Ungleichung lösen. P(X = 0) = 2 n 0 3 ·0,046 0 ·(1 – 0,046) n ª 0,1 1·1·0,954 n ª 0,1 0,954 n ª 0,1 | ln n·ln(0,954) ª ln(0,1) | : ln(0,954) < 0 n º ln(0,1) __ ln(0,954) ≈ 48,90 Man muss mindestens 49 unabhängige Tipps abgeben, um darunter mit einer Wahrscheinlich- keit von 90% mindestens einen Gewinntipp zu haben. A, B A, B A, B A, B, D ggb/mcd/tns ir9d4c A, B die Größe einer Stichprobe berechnen Nur zu Prüfzwecken – Eigentu des Verlags öbv