Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

67 2.3 Binomialverteilung 267 Einer großen Lieferung wird eine Stichprobe vom Umfang n = 40 entnommen. Enthält die Stich- probe mehr als zwei unbrauchbare Teile, so wird die Lieferung zurückgewiesen. Bestimme die Annahmewahrscheinlichkeit der Lieferung, wenn sie a. 1%, b. 2%, c. 5%, d. 10% unbrauchbare Teile enthält. 268 Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit den Parametern n = 20 und p = 0,2. a. Erstelle eine Tabelle mit den Werten P(X = k) für k = 0, 1, 2, … , 20 und stelle die Wahrschein- lichkeiten in einem Diagramm dar. b. Gestalte die Tabelle so um, dass sich der Parameter p in einer eigenen Zelle beliebig zwi- schen 0 und 1 verändern lässt. Dokumentiere mithilfe von drei repräsentativen Diagrammen, wie sich dabei die zugehörigen Diagramme ändern. 269 Zeige, dass für eine binomialverteilte Zufallsvariable stets gilt σ ª 9 _ n _ 2 . Hinweis: Überlege, wie groß das Produkt p·(1 – p) maximal sein kann. 270 Hannes wettet, dass er bei zehnmaligem Würfeln mindestens 3 Sechser würfelt. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass er diese Wette gewinnt. Da die Wahrscheinlichkeit für einen Sechser bei jedem Mal Würfeln die gleiche ist, ist die Anzahl der Sechser unter den 10 Würfen binomialverteilt mit n = 10 und p = 1 _ 6 . Um mindestens 3 Sechser zu würfeln, muss Hannes 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 oder 10 Sechser würfeln. Dafür müssten wir P(X = 3) bis P(X = 10) berechnen und anschließend addieren. Mithilfe des Gegenereignisses können wir uns die Aufgabe vereinfachen. Es gilt P(X º 3) = 1 – P(X < 3) = 1 – [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)], somit ist P(X º 3) = 1 – 4 2 10 0 3 · 2 1 _ 6 3 0 · 2 5 _ 6 3 10 + 2 10 1 3 · 2 1 _ 6 3 1 · 2 5 _ 6 3 9 + 2 10 2 3 · 2 1 _ 6 3 2 · 2 5 _ 6 3 8 5 = 0,225. Hannes gewinnt seine Wette nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 22,5%. 271 Angelika wettet, dass sie bei 20 Münzwürfen mindestens 15-mal Kopf wirft. Ermittle die Wahr- scheinlichkeit, dass Angelika diese Wette gewinnt. 272 Ein Medikament zur Linderung von Rheumabeschwerden wirkt bei 80% der Patientinnen und Patienten. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass, wenn das Medikament 3 Personen verabreicht wird, … a. … allen Personen geholfen wird. b. … keiner der Personen geholfen wird. c. … mindestens einer Person geholfen wird. 273 Die Wiener Verkehrsbetriebe schätzen, dass auf einer bestimmten Buslinie im Schnitt 5% der Fahrgäste schwarzfahren. Ein Kontrolleur kontrolliert zufällig 15 Fahrgäste. Berechne die Wahr- scheinlichkeit, … a. … mindestens einen Fahrgast ohne Fahrschein zu erwischen. b. … mehr als 5 Fahrgäste ohne Fahrschein zu erwischen. 274 Herr Keiler ist ein sehr guter Versicherungsagent und kann im Schnitt bei 2 von 3 Kundengesprä- chen einen Vertrag abschließen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Herr Keiler bei seinen nächsten vier Kundengesprächen … a. … genau vier Verträge abschließen kann. b. … mindestens drei Verträge abschließt. c. … keinen einzigen Vertrag abschließen kann. A, B A, C D ggb/xls/mcd 328u7u Wahrscheinlich- keit einer bino- mialverteilten Zufallsvariablen berechnen A, B A, B A, B A, B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv