Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

66 Zufallsvariable und ihre Verteilungen Achtung Wie wir in Musteraufgabe 259 sehen, lässt sich die Binomialverteilung auch als die Verteilung des Ziehens mit Zurücklegen interpretieren, wobei die Gesamtheit aus zwei Teilen besteht, deren Größen im Verhältnis p : (1 – p) zueinander stehen. Betrachtet man dagegen das Ziehen ohne Zurücklegen, wie es normalerweise bei Stichproben- ziehungen erfolgt, so geht die Unabhängigkeit der Einzelversuche verloren und wir erhalten einen anderen Verteilungstyp. 260 Kreuze an, in welcher Situation eine Binomialverteilung vorliegt. Begründe. A Man würfelt mit 10 Würfeln gleichzeitig und zählt die Anzahl der geworfenen Sechser. B Man erhält beim Kartenspiel 5 Karten ausgeteilt und zählt die Anzahl der Asse. C In einer Klinik zählt man die Anzahl der Mädchen unter 100 Neugeborenen. D Im Casino zählt man, wie oft bei 500 Roulette-Runden die Zahl 13 gekommen ist. E Bei einem Multiple-Choice-Test ist sich ein Kandidat bei einigen der 20 Aufgaben „ziemlich sicher“, bei anderen versucht er die richtige Antwort zu erraten. Man interessiert sich für die Anzahl der richtigen Antworten. 261 In einer Urne befinden sich 10 schwarze und 20 weiße Kugeln. Man entnimmt mit Zurücklegen 3 Kugeln. a. Zeichne das passende Baumdiagramm. Bestimme I. anhand des Baumdiagramms, II. mithilfe der Binomialverteilung die Wahr- scheinlichkeit, dass von den 3 Kugeln … b. … alle Kugeln schwarz sind. c. … genau eine Kugel schwarz ist. d. … mindestens eine Kugel schwarz ist. 262 Eine Befragung unter Schülerinnen und Schülern hat ergeben, dass 92% einen eigenen Compu- ter besitzen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stichprobe von 6 Schülerinnen und Schülern … a. … alle einen eigenen Computer besitzen. b. … genau die Hälfte einen eigenen Computer besitzt. c. … nur eine/r keinen eigenen Computer besitzt. d. Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung für die Anzahl der Schülerinnen und Schüler dieser Stichprobe, die einen Computer besitzen. 263 Familie Maier möchte die Semesterferien mit Schifahren in der Region Schladming verbringen. Leider sind bereits 3 _ 4 der in Frage kommenden Appartements ausgebucht. Berechne die Wahr- scheinlichkeit, dass Familie Maier bei 5 Anrufen kein freies Appartement findet. 264 Theoretisch ist zu erwarten, dass bei einem idealen Spielwürfel, der sechsmal geworfen wird, ein Sechser dabei ist. Franz würfelt sechsmal und erhält gleich dreimal einen Sechser. Berechne die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis. 265 Nach einer Untersuchung ist jede fünfte Zecke in der Region Wienerwald mit dem Borreliose- Erreger infiziert. Andrea hat sich nach einem Geländelauf zwei Zecken eingefangen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Andrea von mindestens einer infizierten Zecke gebissen wurde. 266 Ein Hersteller von Souvenirartikeln weiß, dass 4% seiner batteriebetriebenen Taschenventilato- ren mit Sissi-Motiv einen Produktionsfehler aufweisen. Diese Taschenventilatoren werden in Kisten zu 250 Stück an den Einzelhandel verkauft. Berechne die durchschnittliche zu erwartende Anzahl an defekten Geräten in einer solchen Kiste, sowie die zugehörige Standardabweichung. C, D A, B A, B A, B A, B A, B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv