Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

65 2.3 Binomialverteilung Wir stellen die Wahrscheinlichkeitsverteilungen einiger Binomialverteilungen mit unterschiedli- chen Parametern graphisch dar: Wir sehen, dass sich für p = 0,5 immer ein symmetrisches Diagramm ergibt. Weiters erkennen wir bei wachsendem n immer deutlicher, dass die größten Wahrscheinlichkeiten im Bereich um n·p auftreten. Ist die Zufallsvariable X binomialverteilt mit den Parametern n und p, so ist ihr Erwartungswert E(X) = n · p , ihre Varianz V(X) = n · p · (1 – p) und ihre Standardabweichung σ = 9 ______ n · p · (1 – p) . 259 Markus schreibt die 26 Buchstaben des Alphabets auf jeweils einen Zettel und gibt diese in eine Schachtel. Anschließend zieht er 7-mal hintereinander einen Zettel heraus, notiert den gezoge- nen Buchstaben und legt den Zettel wieder in die Schachtel zurück. Auf diese Weise entsteht ein Wort mit 7 Buchstaben. Wir interessieren uns für die Anzahl der Vokale, die dieses Wort enthält. a. Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung für die Anzahl der Vokale. b. Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass das gezogene Wort genau 2 Vokale enthält. c. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass das gezogene Wort höchstens 2 Vokale besitzt. a. Da jeder Zettel nach der Ziehung wieder in die Schachtel zurückgelegt wird, besteht das Zufallsexperiment aus 7 unabhängigen Zufallsexperimenten. Im Alphabet gibt es 5 Vokale, also ist die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen eines Vokals 5 _ 26 . Die Zufallsvariable X, die die Anzahl der Vokale im gesamten Wort angibt, ist also binomialverteilt mit den Parametern n = 7 und p = 5 _ 26 . Wir erhalten für den Erwartungswert und die Standardabweichung E(X) = 7· 5 _ 26 = 1,35 Vokale und σ = 9 ______ 7· 5 _ 26 2 1 – 5 _ 26 3 = 1,04 Vokale. b. P(X = 2) = 2 7 2 3 · 2 5 _ 26 3 2 · 2 21 _ 26 3 5 = 0,267 c. „Höchstens 2 Vokale“ bedeutet 0 oder 1 oder 2 Vokale. Also ist P(X ª 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = = 2 7 0 3 · 2 5 _ 26 3 0 · 2 21 _ 26 3 7 + 2 7 1 3 · 2 5 _ 26 3 1 · 2 21 _ 26 3 6 + 2 7 2 3 · 2 5 _ 26 3 2 · 2 21 _ 26 3 5 = 0,865. i p i 1 0 2 3 5 4 0 0,2 0,1 0,3 0,4 n = 5, p = 0,2 i p i 1 0 2 3 5 4 0 0,2 0,1 0,3 0,4 n = 5, p = 0,5 i p i 1 0 2 3 5 4 0 0,2 0,1 0,3 0,4 n = 5, p = 0,8 i p i 2 0 4 6 10 8 0 0,2 0,1 0,3 n = 10, p = 0,2 i p i 2 0 4 6 10 8 0 0,2 0,1 0,3 n = 10, p = 0,5 i p i 2 0 4 6 10 8 0 0,2 0,1 0,3 n = 10, p = 0,8 Erwartungswert und Varianz einer binomial- verteilten Zufallsvariablen ggb/mcd 5ht9sv Erwartungs- wert, Standard- abweichung und Wahr- scheinlichkeiten einer binomial- verteilten Zufallsvariablen berechnen A, B Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv