Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

64 2.3 Binomialverteilung Ich lerne zu argumentieren, ob eine gegebene Zufallsvariable binomialverteilt ist. Ich lerne mit der Binomialverteilung Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Ich lerne den Erwartungswert und die Standardabweichung einer binomialverteilten Zufalls- variablen zu berechnen. Bei einem Multiple-Choice-Test erhalten die Kandidatinnen und Kandidaten 5 Fragen, zu denen es jeweils 4 Antwortmöglichkeiten gibt. Von diesen 4 Antwortmöglichkeiten ist jeweils genau eine Antwort richtig. Wir nehmen nun an, dass ein Kandidat für diesen Test nichts gelernt hat und alle Antworten rein zufällig ankreuzt. Die Zufallsvariable X gibt dabei an, wie viele Fragen bei diesem „Zufallsexperiment“ richtig beantwortet wurden. Wie sieht die Wahrscheinlichkeitsvertei- lung dieser Zufallsvariablen aus? Wir suchen also alle Wahrscheinlichkeiten p k mit p k = P(X = k) für k = 0, 1, 2, 3, 4, 5. Folgende Vor- überlegungen erleichtern uns die Berechnung:  Jede einzelne Frage wird mit derselben Wahrscheinlichkeit von p = 1 _ 4 richtig und 1 – p = 3 _ 4 falsch beantwortet.  Die Wahrscheinlichkeit, die ersten k Fragen richtig zu beantworten und den Rest falsch, beträgt 2 1 _ 4 3 k · 2 3 _ 5 3 5 – k .  Möchte man beliebige k Fragen richtig beantworten, so gibt es zunächst 2 5 k 3 Möglichkeiten, aus den 5 Fragen k Fragen auszuwählen. Jede dieser Möglichkeiten hat dieselbe Wahrschein- lichkeit 2 1 _ 4 3 k · 2 3 _ 4 3 5 – k , daher ist die Wahrscheinlichkeit, genau k Fragen richtig zu beantworten p k = 2 5 k 3 · 2 1 _ 4 3 k · 2 3 _ 4 3 5 – k . Daraus erhalten wir folgende Punktwahrscheinlichkeiten, die wir in einem Diagramm veranschaulichen: P(X = 0) = 2 5 0 3 · 2 1 _ 4 3 0 · 2 3 _ 4 3 5 ≈ 0,2373 P(X = 1) = 2 5 1 3 · 2 1 _ 4 3 1 · 2 3 _ 4 3 4 ≈ 0,3955 P(X = 2) = 2 5 2 3 · 2 1 _ 4 3 2 · 2 3 _ 4 3 3 ≈ 0,2637 P(X = 3) = 2 5 3 3 · 2 1 _ 4 3 3 · 2 3 _ 4 3 2 ≈ 0,0879 P(X = 4) = 2 5 4 3 · 2 1 _ 4 3 4 · 2 3 _ 4 3 1 ≈ 0,0146 P(X = 5) = 2 5 5 3 · 2 1 _ 4 3 5 · 2 3 _ 4 3 0 ≈ 0,0010 Daraus ergibt sich nun die allgemeine Definition: Ein Zufallsexperiment wird n-mal durchgeführt, wobei die Einzelversuche voneinander unabhän- gig sind. Wir interessieren uns dabei für die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Ereignis E genau k mal eintritt. Zu diesem Zweck betrachten wir die Zufallsvariable X, die die Häufigkeit des Eintretens von E zählt. Falls die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von E bei jeder einzelnen Wiederholung gleich p ist, so sagt man, dass die Zufallsvariable X binomialverteilt mit den Parametern n und p ist und schreibt X r B n; p . Es ist dann P(X = k) = 2 n k 3 p k (1 – p) n – k . ggb q3ju5k k p k 1 0 2 3 4 5 0 0,2 0,4 tns 8ng5ys binomial- verteilte Zufallsvariable Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv