Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

63 2.2 Erwartungswert und Varianz diskreter Zufallsvariablen 252 Setzt man beim Roulette auf eine der 37 Zahlen, so erhält man, wenn die Kugel tatsächlich auf diese Zahl fällt, das 36-Fache seines Einsatzes zurück. Berechne Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung des Gewinns, wenn man a. 10€, b. 100€ auf eine Zahl setzt. 253 Setzt man beim Roulette auf das „obere Dutzend“ (das sind die Zahlen von 1 bis 12), so erhält man, wenn die Kugel auf eine dieser Zahlen fällt, das 3-Fache seines Einsatzes zurück. Berechne Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung des Gewinns, wenn man a. 10€, b. 100€ auf das obere Dutzend setzt. 254 Vergleiche die Ergebnisse der Aufgaben 251 – 253. Was fällt dir bezüglich des Erwartungswertes, der Varianz und der Standardabweichung auf? Bei welchem der drei vorgestellten Setzverhalten im Roulette ist die Standardabweichung am größten, bei welcher ist sie am kleinsten? Dokumen- tiere deine Überlegungen. 255 Hans hat von der sogenannten Verdoppelungsstrategie gehört und plant diese im Casino in die Tat umzusetzen. Er betritt mit 1 300€ das Casino. Sein Plan ist der folgende: Er setzt zunächst 10€ auf „Rot“. Wenn die Kugel auf „Rot“ fällt, erhält er das Doppelte zurück und verlässt mit ins- gesamt 10€ Gewinn das Casino. Fällt die Kugel nicht auf „Rot“, so verdoppelt er in der nächsten Runde seinen Einsatz. Diese Verdoppelungsstrategie hält er so lange durch, bis die Kugel das erste Mal auf Rot fällt, dann nimmt er seinen Gewinn und geht. a. Rechne nach, warum die Kugel bei Hans’ Startkapital nicht öfters als 7-mal nicht auf Rot fal- len darf. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel so oft hintereinander nicht auf Rot fällt? Berechne. b. Angenommen in der fünften Runde fällt die Kugel erstmals auf Rot. Berechne, welchen Betrag Hans in diesem Fall vom Croupier ausbezahlt bekommt und wie groß sein tatsächli- cher Gewinn ist, wenn er alle seine bisher geleisteten Einsätze abzieht. c. Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung für Hans’ Gewinn. d. Untersuche, ob du die Verdoppelungsstrategie für eine sichere Methode hältst, im Casino zu Geld zu kommen. 256 Bei einer Jahrmarktslotterie kann man auf eine der Zahlen 1, 2, … , 6 setzen. Falls beim Wurf dreier Würfel die gewählte Zahl k-mal erscheint (k = 1, 2, 3) darf man seinen Einsatz behalten und erhält zusätzlich das k-Fache des Einsatzes. Erscheint die gewählte Zahl nicht, so ist der Ein- satz verloren. Berechne Erwartungswert und Varianz des Gewinns. Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt? Ich kann den Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen berechnen und interpretieren. 257 Manuel und Lukas spielen ein Glückspiel. Jeder leistet 1 € Einsatz, dann werden 2 Würfel gewor- fen. Enthält das Resultat mindestens einen Fünfer oder Sechser, so gewinnt Manuel die gesam- ten Einsätze, anderen Falls Lukas. Berechne den Erwartungswert für Manuels Gewinn und inter- pretiere das Ergebnis. Ich kann die Varianz und Standardabweichung einer diskreten Zufallsvariablen berechnen und interpretieren. 258 Die Zufallsvariable X gibt für eine Gemeinde die Anzahl der Personen an, die in einem gemein- samen Haushalt leben. X hat folgende Verteilung: P(X = 1) = 0,12, P(X = 2) = 0,39, P(X = 3) = 0,31, P(X = 4) = 0,16, P(X = 5) = 0,018, P(X = 6) = 0,002, P(X > 6) = 0. a. Berechne E(X), V(X) und 9 ___ V(X). b. Interpretiere die Ergebnisse von a . Welche Bedeutung haben diese 3 Zahlen? A, B A, B C A, B, C A, B A, B, C A, B, C Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv