Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

62 Zufallsvariable und ihre Verteilungen Die Standardabweichung kann man als mittleren Abstand der x i von ihrem Erwartungswert E(X) auffassen, wobei bei der Mittelbildung mit den Wahrscheinlichkeiten p i gewichtet wird. Ebenso wie der Erwartungswert dem aus der beschreibenden Statistik bekannten arithmetischen Mittel- wert entspricht, ist auch die Standardabweichung mit dem Begriff verwandt, den du bereits in der beschreibenden Statistik gelernt hast. Die genauen Beziehungen werden dann in der schlie- ßenden Statistik geklärt werden. 246 Ein Würfel wird geworfen. Berechne den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabwei- chung für die geworfene Augenzahl. Der Erwartungswert ist E(X) = 1 _ 6 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 3,5. Die Varianz ist V(X) = 1 _ 6 4 (1 – 3,5) 2 + (2 – 3,5) 2 + (3 – 3,5) 2 + (4 – 3,5) 2 + (5 – 3,5) 2 + (6 – 3,5) 2 5 = = 1 _ 6 4 25 _ 4 + 9 _ 4 + 1 _ 4 + 1 _ 4 + 9 _ 4 + 25 _ 4 5 = 70 _ 24 = 2,917. Die Standardabweichung ist σ = 9 ___ V(X) = 1,708. 247 Zwei Würfel werden gleichzeitig geworfen und ihre Augenzahl addiert. a. Erstelle eine Tabelle, in der für alle möglichen Augensummen x die Wahrscheinlichkeit ange- geben ist. b. Berechne den Erwartungswert für die Summe der Augenzahlen. c. Ermittle die Varianz und die Standardabweichung der Summe der Augenzahlen. 248 Herr S. hat sich ein Rubbellos gekauft und leider nichts gewon- nen. Enttäuscht sieht er sich die Tabelle mit den möglichen Gewinnen an und erfährt noch dazu Folgendes: Die Serie besteht aus 4 Millionen Losen, der Lospreis beträgt 2€. a. Berechne den Erwartungswert, die Varianz und die Stan- dardabweichung des Gewinns beim Kauf eines Loses. b. Berechne die Wahrscheinlichkeit, mehr als den Lospreis zu gewinnen. c. Berechne die Wahrscheinlichkeit, maximal den Lospreis zurückzugewinnen. 249 Florian hat in seiner Geldbörse eine 2-€-Münze, drei 1-€- Münzen, zwei 50-ct-Münzen, drei 20-ct- Münzen, eine 10-ct-Münze und zwei 5-ct-Münzen. Als er einen Bettler sieht, nimmt er zufällig eine Münze heraus und wirft sie in seinen Hut. Berechne den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung des verschenkten Betrages. 250 Ein Glücksrad hat insgesamt 36 gleich große Gewinnsektoren, davon 1 Hauptgewinn mit 100€, 5 Sektoren zu 10€, 6 Sektoren mit 2€ und 6 Sektoren mit 1€ Gewinn. Die restlichen Sektoren ergeben keinen Gewinn. Ermittle den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung für den Gewinn bei diesem Glücksrad. 251 Beim Roulette gibt es 37 Zahlen, von denen 18 rot und 18 schwarz sind (die Null ist meist grün). Setzt man auf Rot und die Kugel fällt tatsächlich auf eine rote Zahl, so erhält man das Doppelte seines Einsatzes zurück. Berechne Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung des Gewinns, wenn man a. 10€, b. 100€ auf Rot setzt. ggb/xls/mcd/tns fs87fv Erwartungs- wert, Varianz und Standard- abweichung berechnen B A, B A, B 5-mal € 25000,- 10-mal € 5000,– 100-mal € 500,– 1 000-mal € 50,– 5000-mal € 15,– 55000-mal € 8,– 550000-mal € 4,– 945000-mal € 2,– A, B A, B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv