Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

61 2.2 Erwartungswert und Varianz diskreter Zufallsvariablen 243 Fünf Karten, die mit 1 bis 5 beschriftet sind, werden gemischt und nacheinander auf die Plätze 1 bis 5 gelegt. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Karten an, bei denen Karten- und Platznum- mern übereinstimmen. Berechne den Erwartungswert von X und interpretiere das Ergebnis. Da es 5! = 120 mögliche Ausgänge gibt, ist eine direkte Berechnung der Wahrscheinlichkeiten P(X = k) wie in der Musteraufgabe 230 sehr aufwändig. Wir wählen einen anderen Weg. Es ist X = ; j = 1 5 X j , wobei X j = { 1 0 wenn Karte j auf Platz j liegt sonst . Für jede Platznummer j gibt es 5 mögliche Karten. Von diesen stimmt nur eine mit der Platz- nummer j übereinstimmt, daher ist P(X j = 1) = 1 _ 5 . Also ist der Erwartungswert von X j E(X j ) = 1 _ 5 ·1 + 2 1 – 1 _ 5 3 ·0 = 1 _ 5 . Und somit ist E(X) = E 2 ; j = 1 5 X j 3 = ; j = 1 5 E(X j ) = ; j = 1 5 1 _ 5 = 1. Wenn man dieses Zufallsexperiment sehr oft wiederholt, so wird dabei durchschnittlich für eine der Karten die Karten- und Platznummer übereinstimmen. 244 Zehn Karten, die mit 1 bis 10 nummeriert sind, werden gemischt und nacheinander auf die Plätze 1 bis 10 gelegt. X gibt die Anzahl der Karten an, bei denen anschließend Karten- und Platznum- mer übereinstimmen. Berechne den Erwartungswert von X. 245 Für eine Wiederholung des Mathematikstoffs erstellen alle 14 Schülerinnen und Schüler der Klasse jeweils eine Aufgabe. Diese werden vom Lehrer eingesammelt, gemischt und anschließend in zufäl- liger Reihenfolge wieder an die Schülerinnen und Schüler ausgeteilt. Berechne, wie viele Schülerin- nen und Schüler bei diesem Verfahren im Durchschnitt ihre eigene Aufgabe ausgeteilt bekommen. Varianz Lukas überlegt sich, wie groß bei seinem Spielautomatenversuch, bei dem er 1 000-mal gespielt hat und 12-mal 20€, 35-mal 5€ und 180-mal 1€ gewonnen hat (siehe Seite 56), die durch- schnittliche Abweichung der einzelnen Gewinne vom Durchschnittsgewinn 0,61 war. Dazu berechnet er 12(20 – 0,61) + 38(5 – 0,61) + 180(1 – 0,61) + 770(0 – 0,61). Er bemerkt aber, dass die Summe dieser Zahlen 0 ist, da sich positive und negative Abweichun- gen aufheben. Diesen Effekt vermeidet er, indem er die Quadrate (x i – _ G) 2 bildet und diese mit- telt. Es ergibt sich a 2 = 12·(20 – 0,61) 2 + 38·(5 – 0,61) 2 + 180·(1 – 0,61) 2 + 770·(0 – 0,61) 2 _________ 1000 = 5,56. Um wieder zum normalen Maßstab zurückzukehren, zieht er daraus die Wurzel und erhält a = 9 ___ 5,56 = 2,36 als durchschnittliche Abweichung. Ist X eine diskrete Zufallsvariable mit M x = {x 1 , x 2 , … , x n } und p i = P(X = x i ), so heißt V(X) = ; i = 1 n p i · (x i – E(X)) 2 die Varianz von X. Die Standardabweichung oder Streuung von X ist die Wurzel aus der Varianz und wir bezeichnen sie mit σ = 9 ___ V(X). ggb/tns 5s45w2 A, B, C Erwartungswert berechnen A, B A, B Varianz Standard- abweichung Nur zu Prüfzwecken – Eigentu des Verlags öbv