Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

60 Zufallsvariable und ihre Verteilungen 237 Das Spiel „Ambo“ ist eine Variante des österreichischen Zahlenlottos. In der Spielanleitung erfährt man: „Sie kreuzen zwei der 90 Zahlen an. Wenn diese unter den fünf gezogenen sind, haben Sie das 125-Fache Ihres Einsatzes gewonnen“. a. Berechne die Wahrscheinlichkeit, bei „Ambo“ zu gewinnen. b. Ermittle, mit welchem Gewinn man durchschnittlich rechnen kann, wenn man mit 10€ Einsatz spielt. 238 Das Spiel „Ambo-Terno 5“ ist eine weitere Variante des österreichischen Zahlenlottos. In der Spielanleitung erfährt man: „Sie kreuzen fünf der 90 Zahlen an und gewinnen bei zwei Richtigen 5 × , bei drei 125 × , bei vier 750 × und bei fünf Richtigen 5000 × Ihren Einsatz.“ a. Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeit, bei „Ambo-Terno 5“ zwei, drei, vier bzw. fünf Richtige zu erraten. b. Ermittle, mit welchem Gewinn man durchschnittlich rechnen kann, wenn man mit 10€ Einsatz spielt. 239 Ein Spielautomat hat drei Walzen, die sich unabhängig voneinander drehen und in einer von 5 zufälligen Stellungen stehenbleiben. In jeder Stellung ist ein Bildfeld sichtbar. Die Walzen haben je zwei Felder mit dem Symbol ☺ und je ein Feld mit den Symbolen ♥ ,  und  . Folgende Auszahlungen werden geleistet: Für 3 ♥ 20€, für 3  15€, für 3  10€, für 3 ☺ 5€ und für 2 ☺ nebeneinander 1€. Bestimme die mittlere Auszahlung des Automaten. 240 Blutspenden müssen strengen Tests unterzogen werden, um die Ansteckungsgefahr bei einer Bluttransfusion möglichst gering zu halten. Ein solcher Test kostet 20€ pro untersuchter Blut- spende. Aus Erfahrung weiß man, dass 5% aller Blutspenden für eine Blutkonserve unbrauchbar sind. Besteht die Blutspende den Test, so kann sie zu einem Preis von 100€ verkauft werden. a. Berechne den Erwartungswert für den Erlös, den man mit einer Blutspende erzielt. b. Um Kosten zu sparen, werden zwei Blutspenden der gleichen Blutgruppe zusammenge- mischt und gemeinsam getestet. Der Test kostet dann für beide Proben zusammen 20€ und die beiden Blutspenden können, wenn sie den Test bestehen, zusammen um 200€ verkauft werden. Allerdings ist dabei zu bedenken, dass die zusammengemischte Blutprobe unbrauch- bar wird, sobald mindestens eine der beiden einzelnen Blutproben unbrauchbar ist. Berechne auch hier den Erwartungswert für den Erlös, den man mit einer Blutspende erzielt. c. Interpretiere die Resultate aus den Aufgaben a. und c. und argumentiere, ob das Zusammen- mischen von zwei Blutspenden finanziell vorteilhaft ist. 241 Um die Funktionstüchtigkeit eines bestimmten Bauteils zu überprüfen, sind zwei Tests vorgese- hen. Test A kostet 5€ und findet einen defekten Bauteil mit einer Wahrscheinlichkeit von 65%, Test B kostet 40€ und findet einen defekten Bauteil mit einer Wahrscheinlichkeit von 98%. Man beginnt mit Test A. Sollte dieser den Bauteil als defekt identifizieren, so wird der Test abge- brochen und der Bauteil entsorgt. Anderenfalls wird zusätzlich noch Test B durchgeführt. Ein Mitarbeiter macht den Vorschlag, man sollte den effizienteren teuren Test zuerst machen, weil man sich dadurch in den meisten Fällen den weniger effizienten billigeren Test ersparen würde. Argumentiere, ob der Vorschlag des Mitarbeiters die Kosten tatsächlich senken kann. Vergleiche dazu jeweils den Erwartungswert für die Kosten, die die Überprüfung eines defekten Bauteils verursacht. 242 Bei der Qualitätskontrolle eines Touchscreens wird dieser einer von 3 Kategorien zugeteilt: „Kategorie A“ bringt einen Gewinn von 100€, „Kategorie B“ einen Gewinn von 30€, in der Kate- gorie „Ausschuss“ ist mit einem Verlust von 80€ zu rechnen. Berechne den Erwartungswert des Gewinns für einen Touchscreen, wenn 83,5% zu Kategorie A, 14,9% zu B und 1,6% zum Aus- schuss gehören. A, B A, B A, B A, B, C, D A, B, D A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv