Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

6 82 Zufallsvariableund ihreVerteilungen Tipp IndenTabellenaufSeite380wurdendieWahrscheinlichkeiten einer standardnormalverteilten Zufallsvariablengesammelt.DabeinenntmandieWahrscheinlichkeit P(Z ª z)= î (z) („Phi von z“). DieZufallsvariableheißthierausnahmsweiseZ.DerGrundhierfür liegt inder „Standardisierung“, diewir später kennen lernenwerden. 339 BerechnedieWahrscheinlichkeitender standardnormalverteiltenZufallsvariablenZmithilfeder TabelleaufSeite380und skizzieredieWahrscheinlichkeitals FlächeunterderDichtefunktion. a. P(Z ª 1,43)= b. 3 =Œļ c. P(Z º 1,26) = d. 3 ļ Œ=Œ a. P(Z ª 1,43) = ê (1,43) DenWert ê (1,43) lesenwirausderTabelleab. Es ist P(Z ª 1,43)= ê (1,43) =0,9236. b. 3 =Œļ ê ļ DenWert ê ļ OHVHQZLUDXVGHU7DEHOOHDE Es ist 3 =Œļ ê ļ c. Dadiegesamte FlächeunterderDichtefunktion 1 ist, ist P(Z º 1,26)= 1 – ê (1,26)= 1 –0,89662 = 0,1038. d. 3 ļ Œ=Œ ê (0,36) – ê ļ x ggb/xls/tns a6t4qb B Wahrschein- lichkeiten standardnor- malverteilter Zufallsvaria- blenmithilfe derTabelle berechnenund graphisch ver- anschaulichen 0,86 1949 8051 1,36 0869 9131 1,86 0314 9686 2,36 0091 9909 2,86 0,87 1922 8078 1,37 0853 9147 1,87 0307 9693 2,37 0089 9911 2,87 0,88 1894 8106 1,38 0838 9162 1,88 0301 9699 2,38 0087 9913 2,88 0,89 1867 8133 1,39 0823 9177 1,89 0294 9706 2,39 0084 9916 2,89 0,90 1841 8159 1,40 0808 9192 1,90 0287 9713 2,40 0082 9918 2,90 0,91 1814 8186 1,41 0793 9207 1,91 0281 9719 2,41 0080 9920 2,91 0,92 1788 8212 1,42 0778 9222 1,92 0274 9726 2,42 0078 9922 2,92 0,93 1762 8238 1,43 0764 9236 1,93 0268 9732 2,43 0075 9925 2,93 0,94 1736 8264 1,44 0749 9251 1,94 0262 9738 2,44 0073 9927 2,94 0,95 1711 8289 1,45 0735 9265 1,95 0256 9744 2,45 0071 9929 2,95 z ê (–z) ê (z) z ê (–z) ê (z) z ê (–z) ê (z) z ê (–z) ê (z) z 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,51 3050 6950 1,01 1562 8438 1,51 0655 9345 2,01 0222 9778 2,51 0,52 3015 6985 1,02 1539 8461 1,52 0643 9357 2,02 0217 9783 2,52 0,53 2981 7019 1,03 1515 8485 1,53 0630 9370 2,03 0212 9788 2,53 0,54 2946 7054 1,04 1492 8508 1,54 0618 9382 2,04 0207 9793 2,54 0,55 2912 7088 1,05 1469 8531 1,55 0606 9394 2,05 0202 9798 2,55 0,56 2877 7123 1,06 1446 8554 1,56 0594 9406 2,06 0197 9803 2,56 0,57 2843 7157 1,07 1423 8577 1,57 0582 9418 2,07 0192 9808 2,57 0,58 2810 7190 1,08 1401 8599 1,58 0571 9429 2,08 0188 9812 2,58 x f(x) 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 0,2 0,4 z ê (–z) ê (z) z ê (–z) ê (z) z ê (–z) ê (z) z ê (–z) ê (z) z 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,51 3050 6950 1,01 1562 8438 1,51 0655 9345 2,01 0222 9778 2,51 0,52 3015 6985 1,02 1539 8461 1,52 0643 9357 2,02 0217 9783 2,52 0,53 2981 7019 1,03 1515 8485 1,53 0630 9370 2,03 0212 9788 2,53 0,54 2946 7054 1,04 1492 8508 1,54 0618 9382 2,04 0207 9793 2,54 0,55 2912 7088 1,05 1469 8531 1,55 0606 9394 2,05 0202 9798 2,55 0,56 2877 7123 1,06 1446 8554 1,56 0594 9406 2,06 0197 9803 2,56 0,57 2843 7157 1,07 1423 8577 1,57 0582 9418 2,07 0192 9808 2,57 0,58 2810 7190 1,08 1401 8599 1,58 0571 9429 2,08 0188 9812 2,58 0,59 2776 7224 1,09 1379 8621 1,59 0559 9441 2,09 0183 9817 2,59 0,60 2743 7257 1,10 1357 8643 1,60 0548 9452 2,10 0179 9821 2,60 0,61 2709 7291 1,11 1335 8665 1,61 0537 9463 2,11 0174 9826 2,61 0,62 2676 7324 1,12 1314 8686 1,62 0526 9474 2,12 0170 9830 2,62 0,63 2643 7357 1,13 1292 8708 1,63 0516 9484 2,13 0166 9834 2,63 0,64 2611 7389 1,14 1271 8729 1,64 0505 9495 2,14 0162 9838 2,64 0,65 2578 7422 1,15 1251 8749 1,65 0495 9505 2,15 0158 9842 2,65 0,66 2546 7454 1,16 1230 8770 1,66 0485 9515 2,16 0154 9846 2,66 0,67 2514 7486 1,17 1210 8790 1,67 0475 9525 2,17 0150 9850 2,67 0,68 2483 7517 1,18 1190 8810 1,68 0465 9535 2,18 0146 9854 2,68 0,69 2451 7549 1,19 1170 8830 1,69 0455 9545 2,19 0143 9857 2,69 x f(x) 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 0,2 0,4 x f(x) 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 0,2 0,4 x f(x) 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 0,2 0,4 Die folgendeSkizze zeigtdieGraphen vonDichtefunktionen verschiedenerNormalverteilungen mitunterschiedlichenParametern û und Ă 2 : DiewichtigstenEigenschaftenderDichtefunktion f einerNormalverteilung könnenmithilfe einer Kurvendiskussionbestimmtwerden: ƒ DerGraph von f ist symmetrischbezüglichder senkrechtenGeradenmitderGleichung x = û , dasheißt: Füralle reellenZahlen t ist f( û – t) = f( û + t). ƒ fhatanderStelle û einglobalesMaximum. ƒ DerGraph von fhatWendepunkteandenStellen û – Ă und û + Ă . ƒ : ļ č č f(x)dx = 1und lim x ¥ ļ č f(x) = lim x ~č f(x) = 0 WennwirdieGraphenderWahrscheinlichkeitsfunktionen vonBinomialverteilungenbetrachten, fälltauf,dass sie sichmitwachsendemn immermehrdemGraphenderDichtefunktioneiner Normalverteilungannähern. DieseKonvergenz,die sichauchbeweisen lässt, führt zur Interpretation,dassalleGrößen,die sichalsSumme vieler einzelnerEinflüssedarstellen lassen,näherungsweisenormalverteilt sind. Daraus erklärt sichdashäufigeAuftretenunddie vielfacheVerwendungdieserVerteilung.Die mathematisch exakte FormulierungdiesesSachverhaltsheißt zentralerGrenzwertsatz und ist einederwichtigstenErgebnissederWahrscheinlichkeitstheorie.Wirwerdendendaraus resultie- rendenApproximationsmöglichkeiten inder schließendenStatistiknochhäufigbegegnen. Ist eineZufallsvariableXnormalverteiltmitdenParametern û = 0und Ă 2 = 1, soheißt sie standardnormalverteilt (X r N(0; 1 2 )). IhreDichtefunktionwirdmit ą (Kleinbuchstabe „Phi“), ihreVerteilungsfunktionmit ê (Groß- buchstabe „Phi“)und ihre Fraktilewerdenmitu p bezeichnet.Esgiltdann ĉ (x)= 1 _ 9 __ 2 ă e ļ x 2 _ 2 und î (u p )=p. Die FunktionswertederVerteilungsfunktionderStandardnormalverteilung können imAllgemeinen nichtexaktberechnetwerden.FürdiepraktischeAnwendunggibtesabereineTabelle (sieheSeite 380)mitden (ausreichendgenauberechneten) Funktionswerten von ê .Außerdem stellen sowohl 7DEHOOHQNDONXODWLRQVSURJUDPPHDOVDXFK&RPSXWHUDOJHEUDV\VWHPHVRZLHPDQFKH7DVFKHQUHFKQHU bereitsentsprechende Funktionen zurBerechnungder Funktionswerte von ê zurVerfügung. x f(x) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 -8 -10 8 10 6 4 2 -6 -4 -2 þ = -4, ą =2 þ = 0, ą = 1 þ =4, ą =0,5 Eigenschaften derDichtefunk- tioneinerNor- malverteilung ggb vz7us7 i p i 10 0 20 30 50 40 0 0,1 0,05 0,15 n=50,p = 0,2 i p i 10 0 20 30 50 40 0 0,1 0,05 0,15 n=50,p=0,5 i p i 10 0 20 30 50 40 0 0,1 0,05 0,15 n=50,p = 0,8 Standard- normal- verteilung HTL_4_Buchdatei.indb 82 30.07.2014 16:33:46 Den im Buch abgedruckten Online-Code in das Suchenfeld der öbv-Website www.oebv.at direkt eingeben. 82 Die folgende Skizze zeigt die Graphen von Dichtefunktionen verschiedener Normalverteilungen mit unterschiedlichen Parametern û und Ă 2 : Die wichtigsten Eigenschaften der Dichtefunktion f einer Normalverteilung können mithilfe einer Kurvendiskussion bestimmt werden: ƒ Der Graph von f ist symmetrisch bezüglich der senkrechten Geraden mit der Gleichung x = û , das heißt: Für alle reellen Zahlen t ist f( û – t) = f( û + t). ƒ f hat an der Stelle û ein globales Maximum. ƒ Der Graph von f hat Wendepunkte an den Stellen û – Ă und û + Ă . ƒ : ļ č č f(x) dx = 1 und lim x ¥ ļ č f(x) = lim x ~č f(x) = 0 Wenn wir die Graphen der Wahrscheinlichkeitsfunktionen von Binomialverteilungen betrachten, fällt auf, dass sie sich mit wachsendem n immer mehr dem Graphen der Dichtefunktion einer Normalverteilung annähern. Diese Konvergenz, die sich auch beweisen lässt, führt zur Interpretation, dass alle Größen, die sich als Summe vieler einzelner Einflüsse darstellen lassen, näherungsweise normalverteilt sind. Daraus erklärt sich das häufige Auftreten und die vielfache Verwendung dieser Verteilung. Die mathematisch exakte Formulierung dieses Sachverhalts heißt zentraler Grenzwertsatz und ist eine der wichtigsten Ergebnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie. Wir werden den daraus resultie- renden Approximationsmöglichkeiten in der schließenden Statistik noch häufig begegnen. Ist eine Zufalls variable X nor malverteilt mit den Parametern û = 0 und Ă 2 = 1, so heißt sie standardnormalverteilt (X r N(0; 1 2 )). Ihre Dichtefunktion wird mit ą (Kleinbuchstabe „Phi“), ihre Verteilungsfunktion mit ê (Groß- buchstabe „Phi“) und ihre Fraktile werden mit u p bezeichnet. Es gilt dann ĉ (x) = 1 _ 9 __ 2 ă e ļ x 2 _ 2 und î (u p ) = p. Die Funktionswerte der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung können im Allgemeinen nicht exakt berechnet werden. Für die praktische Anwendung gibt es aber eine Tabelle (siehe Seite 380) mit den (ausreichend genau berechneten) Funktionswerten von ê . Außerdem stellen sowohl 7DEHOOHQNDONXODWLRQVSURJUDPPH DOV DXFK &RPSXWHUDOJHEUDV\VWHPH VRZLH PDQFKH 7DVFKHQUHFKQHU bereits entsprechende Funktionen zur Berechnung der Funktionswerte von ê zur Verfügung. x f(x) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 - 8 -10 8 10 6 4 2 - 6 - 4 - 2 þ = - 4, ą = 2 þ = 0, ą = 1 þ = 4, ą = 0,5 Eigenschaften der Dichtefunk- tion einer Nor- malverteilung ggb vz7us7 i p i 10 0 20 30 50 40 0 0,1 0,05 0,15 n = 50, p = 0,2 i p i 10 0 20 30 50 40 0 0,1 0,05 0,15 n = 50, p = 0,5 i p i 10 0 20 30 50 40 0 0,1 0,05 0,15 n = 50, p = 0,8 Standard- normal- verteilung TL_4_Buchdatei.indb 82 30.07.2014 16:33:46 E lisch in9w67 Individualisierung 3xn8xy Material tb53ss Link ad79n6 Zusätzliche Materialien uf www.oebv.at englischsprachige Auf- gaben zu jedem Kapitel Aufgaben z r Indivi- dualisierung zu jedem Kapitel zusätzliches Material (Downloads) interessante Links i die Welt der Mathematik Technologieeinsatz Ausführlich Ei führungen zu GeoGebra , Excel , Mathcad und dem TI-Nspire Applets zur Veranschaulichung der Theorie Ausführliche Erklärungen, die zeigen, wie Muster- aufgaben im Buch auch mit Technologieeinsatz gelöst werd n kön en Zu diesem Schulbuch gibt es eine umfassende Online-Ergänzung, die zahlreiche zusätzliche Materialien zum Buch sowie Einführungen, Erklärungen und Applets für den Einsatz von Technologie zur Verfügung stellt. Alle Inhalte der Online-Ergänzung sind den Inhalts- und Handlungsdimensionen der Standardmatrix zugeordnet. Technologie Ge Gebra Mathcad Excel TI-Nspire ggb 6274b4 cd vr7wq2 xls t7bw92 tns s35pe2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv