Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

59 2.2 Erwartungswert und Varianz diskreter Zufallsvariablen Sind c 1 , c 2 , … , c k reelle Zahlen, X 1 , X 2 , … , X k Zufallsvariable mit endlicher Grundmenge Ω , dann ist auch die Summe ; j = 1 k c j ·X j eine Zufallsvariable mit Grundmenge Ω und E 2 ; j = 1 k c j ·X j 3 = ; j = 1 k c j ·E(X j ). Als Spezialfall davon erhalten wir für zwei Zufallsvariablen X und Y mit derselben endlichen Grundmenge E(X + Y) = E(X) + E(Y) . 233 Es werden a. 2, b. 3, c. n Würfel geworfen. Berechne den Erwartungswert für die Augensumme. 234 Ein Zufallszahlengenerator gibt eine ganzzahlige Zufallszahl aus dem Bereich von 0 bis 9999 aus. Ermittle den Erwartungswert für die Ziffernsumme dieser Zufallszahl. Tipp: Denke dir, dass Zahlen kleiner als 1 000 mit vorangestellten Nullen ebenfalls mit 4 Ziffern geschrieben werden können, also zum Beispiel 34 = „0034“. 235 Eine der Spielvarianten des österreichischen Zahlenlottos nennt sich „Ambo-Terno 3“. Dabei müs- sen 3 Zahlen aus den Zahlen von 1 bis 90 angekreuzt werden. Bei der Ziehung werden 5 Zahlen gezogen. Befinden sich die 3 angekreuzten Zahlen unter den 5 gezogenen, so gewinnt man das 2500-Fache des Einsatzes, bei 2 Richtigen gewinnt man den 10-fachen Einsatz. a. Berechne die Wahrscheinlichkeit, bei „Ambo-Terno 3“ 2 bzw. 3 Richtige zu erhalten. b. Ermittle den zu erwartenden durchschnittlichen Gewinn, wenn man mit 10€ Einsatz spielt. a. Die Anzahl der Möglichkeiten, aus 90 Zahlen 3 anzukreuzen, ist 2 90 3 3 = 117480. Die Zufallsvariable X ordnet jeder Ziehung die Anzahl der richtig angekreuzten Zahlen zu. Um 3 Richtige zu erhalten, muss man 3 Zahlen aus den 5 gezogenen gewählt haben. Dafür gibt es 2 5 3 3 = 10 günstige Ausgänge. Somit ist P(X = 3) = 10 _ 117840 = 8,486·10 ‒5 . Um 2 Richtige zu erhalten, muss man 2 der 5 gezogenen Zahlen ankreuzen und eine der 85 nicht gezogenen Zahlen. Dafür gibt es 2 5 2 3 · 2 85 1 3 = 850 günstige Ausgänge. Somit ist P(X = 2) = 850 _ 117840 = 7,213·10 ‒3 . b. Da man für 3 Richtige 2500·10€ = 25000€ und für zwei Richtige 10·10€ = 100€ erhält, ist der Erwartungswert der Auszahlung E(A) = 10 _ 117840 ·25000 + 850 _ 117840 ·100 = 2,84€. Der Wetteinsatz beträgt 10€, also hat man einen durchschnittlichen Verlust von 7,16€ pro Spiel. 236 Das Spiel „Extrakt“ ist eine Variante des österreichischen Zahlenlottos. In der Spielanleitung erfährt man: „Sie kreuzen eine der 90 Zahlen an. Ist sie unter den fünf gezogenen, haben Sie das 5-Fache Ihres Einsatzes gewonnen.“ a. Berechne die Wahrscheinlichkeit, bei „Extrakt“ zu gewinnen. b. Ermittle, mit welchem Gewinn man durchschnittlich rechnen kann, wenn man mit 10€ Einsatz spielt. Rechenregel für den Erwartungswert B A, B xls/mcd/tns sv6km4 Erwartungswert berechnen A, B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv