Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

58 Zufallsvariable und ihre Verteilungen 230 Drei Karten, die mit 1, 2 und 3 beschriftet sind, werden gemischt und auf die Plätze 1, 2 und 3 gelegt. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Karten an, für die die Karten- und Platznummern übereinstimmen. Berechne den Erwartungswert E(X) und interpretiere das Ergebnis. Ω besteht aus den 6 Permutationen der drei Karten: Ω = {123, 132, 213, 231, 312, 321} Die Anzahl der Karten, die an der richtigen Position liegen, kann 0, 1 oder 3 sein. (Bedenke, dass es nicht möglich ist, dass eine einzige Karte an der falschen Stelle liegt, denn es müsste dann eine andere Karte an deren Stelle zu liegen kommen und daher ebenfalls falsch liegen.) Also ist M X = {0, 1, 3} und X hat folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung: p 0 = P(X = 0) = P({231, 312}) = 2 _ 6 p 1 = P(X = 1) = P({132, 213, 321)} = 3 _ 6 p 3 = P(X = 3) = P({123}) = 1 _ 6 Der Erwartungswert ist E(X) = 2 _ 6 ·0 + 3 _ 6 ·1 + 1 _ 6 ·3 = 6 _ 6 = 1. Wenn man dieses Zufallsexperiment (Mischen und Auflegen der drei Karten) sehr oft wiederholt, so wird dabei durchschnittlich für eine der Karten die Karten- und Platznummer übereinstimmen. 231 Vier Karten, die mit 1, 2, 3 und 4 beschriftet sind, werden gemischt und auf die Plätze 1, 2, 3 und 4 gelegt. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Karten an, bei denen anschließend Karten- und Platznummer übereinstimmen. Berechne den Erwartungswert E(X) und interpretiere das Ergebnis. 232 Bei einem Kinderschirennen erhalten die 4 Kinder einer Schigruppe die Startnummern 1 bis 4. Durch den großen Andrang beim Schilift kommen die Kinder aber in zufälliger Reihenfolge beim Start an und werden sofort ins Rennen geschickt. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl jener Kinder an, die ihrer Startnummer entsprechend richtig starten. a. Berechne die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable X. b. Ermittle den Erwartungswert von X und interpretiere das Ergebnis. Rechenregeln für den Erwartungswert Bei einem Würfelspiel erhält die Spielerin bzw. der Spieler das Zehnfache der geworfenen Augenzahl, muss aber 37€ Einsatz für die Teilnahme bezahlen. Wie groß ist der Erwartungswert seines Gewinns? Der Erwartungswert für die geworfene Augenzahl ist 1 _ 6 ·1 + 1 _ 6 ·2 + 1 _ 6 ·3 + 1 _ 6 ·4 + 1 _ 6 ·5 + 1 _ 6 ·6 = 3,5. Das heißt, man kann auf lange Sicht mit 3,5·10 = 35€ Auszahlung rechnen. Subtrahiert man davon allerdings die 37€, so beträgt der zu erwartende Gewinn ‒ 2€ pro Spiel. Die Spielerin bzw. der Spieler muss also auf lange Sicht damit rechnen, 2€ pro Spiel zu verlieren. Wir bezeichnen mit X die Zufallsvariable, die jeder Zahl aus der Grundmenge {1, 2, 3, 4, 5, 6} die Zahl selbst (die geworfene Augenzahl) zuordnet, mit Y die Zufallsvariable, die jeder Zahl aus derselben Grundmenge die Zahl 1 zuordnet und mit G die Zufallsvariable, die den Gewinn des Spielers beschreibt. Dann ist G = 10X – 37Y und E(X) = 3,5, E(Y) = 1 und E(G) = ‒ 2, also ist E(10X – 37Y) = 10E(X) – 37E(Y). Dieser Zusammenhang kann allgemein formuliert werden und lässt sich oft zur Vereinfachung der Berechnung von Erwartungswerten einsetzen. Erwartungswert berechnen und interpretieren A, B, C A, B, C A, B, C Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv