Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

56 2.2 Erwartungswert und Varianz diskreter Zufallsvariablen Ich lerne den Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen zu berechnen und zu interpre- tieren. Ich lerne die Varianz und Standardabweichung einer diskreten Zufallsvariablen zu berechnen und zu interpretieren. Erwartungswert Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen kann durch zwei Kenngrößen, den Erwartungswert und die Varianz , grob charakterisiert werden. Die erste gibt einen „mittleren Wert“ an, den die Zufallsvariable bei oftmaliger Beobachtung annimmt. Betrachten wir dazu einen Spielautomaten, der in jedem Spiel die möglichen Auszahlungen 0€, 1€, 5€ oder 20€ (mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten) liefert. Lukas nimmt sich die Zeit und spielt 1 000-mal. Er stellt am Ende fest, dass er dabei 12-mal 20€, 38-mal 5€ und 180-mal 1€ gewonnen hat. Sein Gesamtgewinn ist somit G = 12·20€ + 38·5€ + 180·1€ + 770·0€ = 610€, der durchschnittliche Gewinn pro Spiel daher _ G = 610€ _ 1000 = 0,61€. Das können wir auch so anschreiben: _ G = ; i = 1 n h i ·x i , wenn wir mit h i die relativen Häufigkeiten der Auszahlungen x i bezeichnen. Geht man von der Wahrscheinlichkeitsverteilung P(X = x i ) = p i aus, dann kann man auf Grund des empirischen Gesetzes der großen Zahlen die h i durch p i schätzen und erhält ; i = 1 n p i ·x i als Schätzwert für _ G. Dieser Betrag wäre dann auch der faire Einsatz für die Beteiligung an diesem Spiel. Ist X eine diskrete Zufallsvariable mit M x = {x 1 , x 2 , … , x n } und p i = P(X = x i ), so heißt E(X) = ; i = 1 n p i ·x i der Erwartungswert von X. 219 Bei einem Würfelspiel wird ein fairer Würfel geworfen und die Spielerin bzw. der Spieler erhält bei ungerader Augenzahl den gewürfelten und bei gerader Augenzahl den doppelten Betrag ausbezahlt. Berechne, welchen Einsatz die Spielleitung für die Teilnahme an diesem Spiel verlan- gen muss, um langfristig keinen Verlust zu machen. Mit X bezeichnen wir die Zufallsvariable, die den Auszahlungsbetrag angibt. Dann ist M X = {1, 4, 3, 8, 5, 12}. Bei einem fairen Würfel sind alle Punktwahrscheinlichkeiten p i = P(X = x i ) = 1 _ 6 . Somit ist der Erwartungswert für den Auszahlungsbetrag E(X) = ; i = 1 6 p i ·x i = 1 _ 6 ·1 + 1 _ 6 ·4 + 1 _ 6 ·3 + 1 _ 6 ·8 + 1 _ 6 ·5 + 1 _ 6 ·12 = 33 _ 6 = 5,5. Das ist der „faire Einsatz“ für dieses Spiel. Um langfristig keinen Verlust zu machen, muss die Spielleitung mindestens 5,50€ pro Spiel verlangen. Erwartungswert ggb/xls/mcd/tns id9yk8 Erwartungswert berechnen A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv