Mathematik HTL 4/5, Schulbuch

53 2.1 Diskrete Zufallsvariable Die Wahrscheinlichkeitsfunktion lässt sich übersichtlich durch ein Stabdiagramm darstellen: Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten p i nennt man auch Punktwahrscheinlichkeiten von X. 203 Drei Münzen werden geworfen. X gibt die Anzahl der geworfenen Köpfe an. a. Gib die Grundmenge Ω und die Wertemenge M X des Zufallsexperimentes an. b. Erstelle eine Tabelle, in der du jeder Zahl x * M X die Wahrscheinlichkeit P(X = x) zuordnest und stelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung in einem Diagramm dar. a. Die Grundmenge dieses Zufallsexperimentes ist Ω = {(KKK), (KKZ), (KZK), (KZZ), (ZKK), (ZKZ), (ZZK), (ZZZ)}. Die Anzahl der geworfenen Köpfe kann 0, 1, 2 oder 3 sein. Daher ist M X = {0, 1, 2, 3}. b. Die Wahrscheinlichkeit für jeden einzelnen Ausgang x ist P(x) = 1 _ 2 · 1 _ 2 · 1 _ 2 = 1 _ 8 . Also ist p 0 = P(X = 0) = P({(ZZZ)}) = 1 _ 8 p 1 = P(X = 1) = P({(KZZ), (ZKZ), (ZZK)}) = 1 _ 8 + 1 _ 8 + 1 _ 8 = 3 _ 8 p 2 = P(X = 2) = P({(KKZ), (KZK), (ZKK)}) = 1 _ 8 + 1 _ 8 + 1 _ 8 = 3 _ 8 p 3 = P(X = 3) = P({(KKK)}) = 1 _ 8 204 Vier Münzen werden geworfen. Die Zufallsvariable Z zählt, wie oft sie dabei die Seite „Zahl“ zeigt. Berechne P(Z = z) für z = 0, 1, 2, 3, 4 und stelle das Ergebnis mithilfe eines Diagramms dar. 205 Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei einem neugeborenen Kind um ein Mädchen handelt, beträgt 0,48, die Wahrscheinlichkeit für einen Buben ist 0,52. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Mädchen in einer Familie mit drei Kindern an. a. Gib die Wertemenge M X dieser Zufallsvariablen an. b. Berechne die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X und stelle diese in einem Diagramm dar. 206 In einem Krug befinden sich drei schwarze Kugeln und eine weiße Kugel. Es wird so lange (ohne Zurücklegen) gezogen, bis die weiße Kugel erscheint. X gibt die Anzahl der benötigten Ziehungen an. Berechne die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X und stelle diese in einem Diagramm dar. Die weiße Kugel kann bei der ersten, zweiten, dritten oder vierten Ziehung erscheinen. Die Wertemenge von X ist also M X = {1, 2, 3, 4}. Für die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten müssen wir beachten, dass die Anzahl der Kugeln sich bei jeder Ziehung um 1 verringert. p 1 = P(X = 1) = P(„W“) = 1 _ 4 p 2 = P(X = 2) = P(„SW“) = 3 _ 4 · 1 _ 3 = 1 _ 4 p 3 = P(X = 3) = P(„SSW“) = 3 _ 4 · 2 _ 3 · 1 _ 2 = 1 _ 4 p 4 = P(X = 4) = P(„SSSW“) = 3 _ 4 · 2 _ 3 · 1 _ 2 ·1 = 1 _ 4 Punktwahr- scheinlich- keiten i p i x 1 x 2 x 3 x 4 A, B eine Wahr- scheinlich- keitsverteilung berechnen und in einem Diagramm darstellen ggb/xls d4t8bh i p i 1 0 2 3 0,1 0 0,2 0,3 0,4 A A A, B eine Wahr- scheinlich- keitsverteilung berechnen und in einem Diagramm darstellen ggb/xls j653ca i p i 1 0 2 3 4 0 0,25 0,5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv